N阶Butterworth滤波器的频率响应（Python实现）

Butterworth滤波器最先由英国工程师Stephen Butterworth于1930年发表在英国《无线电工程》期刊的名为“On the Theory of Filter Amplifiers”论文中提出。来自90余年前的古老智慧。

巴特沃斯滤波器在通带的频率响应曲线最平滑，其|H(jω)|^2在ω=0点的1至2N-1阶导数值为0，所以巴特沃斯滤波器也被称为也被称作最大平坦滤波器。

巴特沃斯低通滤波器的振幅平方对频率的公式为

使用Python做出不同阶数的Butterworth滤波器的频率响应如下图所示。阶数N=2,4,8，截止频率均为2。Butterworth模拟低通滤波器的频率响应（左：幅频响应，右：相频响应）

容易见得，Butterworth滤波器的阶数越高，幅频响应越陡峭，滤波效果越优越。

我采用了Python（v3.7.7）实现Butterworth模拟低通滤波器。具体采用了scipy（v1.6.0）的第三方包，来进行信号与系统的基本运算；采用了matplotlib（v3.3.3）作图。代码如下。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.signal as signalw = 2*np.pi*np.linspace(0, 1, 10000)system2 = signal.butter(2, 2, btype='low', analog=True, output='ba')
w2, H2 = signal.freqresp(system2, w)system4 = signal.butter(4, 2, btype='low', analog=True, output='ba')
w4, H4 = signal.freqresp(system4, w)system8 = signal.butter(8, 2, btype='low', analog=True, output='ba')
w8, H8 = signal.freqresp(system8, w)plt.figure(figsize=(8,3))
plt.subplot(121)
plt.plot(w2, abs(H2), 'g', label='$N=2$')
plt.plot(w4, abs(H4), 'royalblue', label='$N=4$')
plt.plot(w8, abs(H8), 'orangered', label='$N=8$')
plt.axvline(2, ymin=0, ymax=0.69, color='black', ls='dashed')
plt.axhline(0.707, xmin=0, xmax=0.335, color='black', ls='dashed')
plt.grid(True)
plt.ylabel('$|H(j\Omega)|$')
plt.xlabel('$\Omega$')
plt.legend(fontsize=10, loc='upper right')plt.subplot(122)
plt.plot(w2, np.angle(H2), 'g')
plt.plot(w4, np.angle(H4), 'royalblue')
plt.plot(w8, np.angle(H8), 'orangered')
plt.grid(True)
plt.ylabel(r'$\angle H(j\Omega)$')
plt.xlabel('$\Omega$')
plt.tight_layout()
plt.savefig('3_Butterworth filter.png', dpi=600)
plt.show()

主要使用了scipy的信号处理包signal。有Butterworth滤波器的专属API

# https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.butter.html#scipy.signal.butter
scipy.signal.butter(N, Wn, btype='low', analog=False, output='ba', fs=None)"""
Parameters:N: int The order of the filter.
Wn: array_like The critical frequency or frequencies.
btype: {'lowpass', 'highpass', 'bandpass', 'bandstop'}, optional The type of filter. Default is 'lowpass'.
analog: bool, optional When True, return an analog filter, otherwise a digital filter is returned.
output: {'ba', 'zpk', 'sos'}, optional Type of output: numerator/denominator ('ba'), pole-zero ('zpk'), or second-order sections ('sos'). Default is 'ba' for backwards compatibility, but 'sos' should be used for general-purpose filtering.
fs: float, optional The sampling frequency of the digital system.
Added in 1.2.0Returns:b, a : ndarray, ndarray Numerator (b) and denominator (a) polynomials of the IIR filter. Only returned if output='ba'.
z, p, k : ndarray, ndarray, float Zeros, poles, and system gain of the IIR filter transfer function. Only returned if output='zpk'.
sos: ndarray Second-order sections representation of the IIR filter. Only returned if output=='sos'.
"""

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