Butterworth滤波器

Butterworth低通滤波器传递函数为：

$H(u,v)=\frac{1}{1+[D(u,v)/D_{0}]^{2n}}$

$D_{0}$ 是截至频率，n为函数的阶。一般取使H(u,v)最大值下降到最大值的一般时的D(u,v)作为截至频率 $D_{0}$ 。

与理想低通滤波器相比，高低频之间过渡较为平滑，因此滤波后输出的图像振铃现象不明显。n=1时，过渡最平滑，即尾部包含大量高频部分；但随着n增加，振铃现象越来越明显。

设计巴特沃斯低通滤波器计算

归一化：

这里的模拟低通滤波器的3db点，也称为截止频率，是指滤波器的输出信号相对于输入信号的幅度衰减到1/√2（约等于-3db）时的频率。

低通滤波器是一种常用的电子电路，它能够通过低于截止频率的信号，而阻断高于截止频率的信号。低通滤波器的截止频率可以用来调节滤波器的性能，比如可以调节滤波器的带宽，或者是调节滤波器的阻带衰减。

对图像进行Butterworth低通滤波

import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import io, color# 读入图像
img = io.imread('I2.jpg')
I = color.rgb2gray(img)
f = np.fft.fft2(I)
fshift = np.fft.fftshift(f)
# 取绝对值
s1 = np.log(np.abs(fshift))
"""
butterworth低通滤波
"""def btw_filter(I, d, n):f = np.fft.fft2(I)fshift = np.fft.fftshift(f)def make_transform_matrix(d):transfor_matrix = np.zeros(I.shape)center_point = tuple(map(lambda x: (x - 1) / 2, s1.shape))for i in range(transfor_matrix.shape[0]):for j in range(transfor_matrix.shape[1]):def cal_distance(pa, pb):from math import sqrtdis = sqrt((pa[0] - pb[0]) ** 2 + (pa[1] - pb[1]) ** 2)return disdis = cal_distance(center_point, (i, j))transfor_matrix[i, j] = 1 / (1 + (dis / d) ** (2 * n))return transfor_matrixd_matrix = make_transform_matrix(d)new_I = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift * d_matrix)))return new_Iplt.subplot(221)
plt.title("Original")
plt.axis('off')
plt.imshow(I, cmap='gray')
plt.subplot(222)
I1 = btw_filter(I, 100, 1)
plt.title("Butter 100 1")
plt.axis('off')
plt.imshow(I1, cmap='gray')
plt.subplot(223)
I2 = btw_filter(I, 30, 1)
plt.axis('off')
plt.title("Butter 30 1")
plt.imshow(I2, cmap='gray')
plt.subplot(224)
I3 = btw_filter(I, 30, 5)
plt.title("Butter 30 5")
plt.axis('off')
plt.imshow(I3, cmap='gray')
plt.show()

可以使用 scikit-image 库中的 skimage.filters.butterworth 函数来实现巴特沃斯低通滤波器。

import skimage.filters
from skimage import io
import matplotlib.pyplot as plt
# 读取图像
image = io.imread('I2.jpg', as_gray=True)# 应用巴特沃斯低通滤波器
filtered_image = skimage.filters.butterworth(image,0.003,5)
plt.figure()
plt.imshow(filtered_image,cmap='gray')
plt.show()

图像巴特沃斯高通滤波

只需在低通滤波代码稍作修改即可：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import io, color# 读入图像
img = io.imread('I2.jpg')
I = color.rgb2gray(img)
f = np.fft.fft2(I)
fshift = np.fft.fftshift(f)
# 取绝对值
s1 = np.log(np.abs(fshift))
"""
butterworth低通滤波
"""def btw_filter(I, d, n):f = np.fft.fft2(I)fshift = np.fft.fftshift(f)def make_transform_matrix(d):transfor_matrix = np.zeros(I.shape)center_point = tuple(map(lambda x: (x - 1) / 2, s1.shape))for i in range(transfor_matrix.shape[0]):for j in range(transfor_matrix.shape[1]):def cal_distance(pa, pb):from math import sqrtdis = sqrt((pa[0] - pb[0]) ** 2 + (pa[1] - pb[1]) ** 2)return disdis = cal_distance(center_point, (i, j))transfor_matrix[i, j] = 1 / (1 + (dis / d) ** (2 * n))return transfor_matrixd_matrix = make_transform_matrix(d)d_matrix = 1 - d_matrixnew_I = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift * d_matrix)))return new_Iplt.subplot(221)
plt.title("Original")
plt.axis('off')
plt.imshow(I, cmap='gray')
plt.subplot(222)
I1 = btw_filter(I, 100, 1)
plt.title("Butter 100 1")
plt.axis('off')
plt.imshow(I1, cmap='gray')
plt.subplot(223)
I2 = btw_filter(I, 30, 1)
plt.axis('off')
plt.title("Butter 30 1")
plt.imshow(I2, cmap='gray')
plt.subplot(224)
I3 = btw_filter(I, 30, 5)
plt.title("Butter 30 5")
plt.axis('off')
plt.imshow(I3, cmap='gray')
plt.show()

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