【线代】相似矩阵中特征根的求法：特征方程、一般方程为什么求得的特征根含义不同？
目录
一、特征方程
二、一般方程
三、小结
征根的取值常常由两种常见的方程得到，一个是特征方程，一个是一般方程。
这两种方程求得的特征根，表述又不尽相同，在此进行区分。
一、特征方程
根据定义，特征方程即为 |λE-A|=0，从中解方程时每一步都是恒等变形，所以解出的 λ 的值及重数，就是特征根 λ 的实际情况。因此，特征根 λ 与特征方程的解一一对应。
【例1】|λE-A| = λ（λ-1）= 0，即得到有两个特征值，分别为 λ1=0，λ2=1。
【例2】|λE-A| = λ^2（λ-1）= 0，得到有三个特征值，分别为 λ1=λ2=0，λ3=1。
二、一般方程
这里的一般方程，指的是除了特征根以外的方程，也即从题目中的其他约束条件得到的方程。
【例3】A是n阶矩阵，tr(A) = a ≠ 0，r(A)=1，A^2=aA，证明A相似于对角矩阵。
解：因为 A^2=aA，f(A)=A^2-aA=0，所以 λ^2-aλ=λ(λ-a)=0，得到 λ=0或a。（一般方程的 λ 求解结果，不可以说 λ1=a，只能说，λ=a或b。这表示，λ 的取值范围是 {0，1}集合，但是各有几重根，需要由其他条件判断，也可能某个取值是0重。）
又因为 tr(A)=λ1+λ2+…+λn=a，所以设 λn=a，λ1=λ2=…=0。
对于 λ1=…=0，(0·E-A)x=0 即为 Ax=0，因为r(A)=1，所以有 s=n-1 个线性无关的解（即特征向量）。
因此对于所有特征值对应的这n个特征向量，都是线性无关的（不同特征值间的本就线性无关）。
则特征向量组成的矩阵 P=(α1，α2，…，αn) 是可逆矩阵，所以A可以相似对角化。
三、小结
1. 特征根 λ 与特征方程的解 |λE-A|=0 一一对应，包括数值和重数都对应。
2. 一般方程是从题干信息而得的，它关于 λ 的求解结果，不可以说 λ1=a，只能说，λ=a或b。
3. 一般方程给出的是 λ 的取值范围，如 {0，1}集合，但是各有几重根，需要其他条件再判断，也可能某个取值是0重。
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