一、整数规划求解方法

分支定界法 ( 普通整数规划 ) : 主要处理整数规划问题 , 规划中的变量要求是整数 ;

匈牙利法 ( 指派问题 ) : 变量只能取 0,10 , 10,1 值的整数规划 , 如果有 nnn 个变量 , 则一共可能有 2n2^n2n 种可能的取值 , 使用穷举法可能比较简单 ; 在进一步 , 将一些条件考虑进其中 , 可以排除掉一些取值 , 使得搜索范围变小 ;

二、指派问题

指派问题 : 给 444 个人指派 444 个岗位 , 每个人在不同的岗位产生的利润不同 , 如何安排使得利润最高 ;

	AAA	BBB	CCC	DDD
甲	858585	929292	737373	909090
乙	959595	878787	787878	959595
丙	828282	838383	797979	909090
丁	868686	909090	808080	888888

首先进行变量选取 , 这里人与工作的关系只是做 / 不做工作 , 这里将甲是否做 A,B,C,DA , B, C, DA,B,C,D 工作设置为变量分别设置为 x11,x12,x13,x14x_{11}, x_{12}, x_{13}, x_{14}x11,x12,x13,x14 ,

甲如果做 AAA 工作 , x11=1x_{11} = 1x11=1 , 如果不做 AAA 工作 , x11=0x_{11} = 0x11=0 ;

161616 个变量如下 :

	AAA	BBB	CCC	DDD
甲	x11x_{11}x11	x12x_{12}x12	x13x_{13}x13	x14x_{14}x14
乙	x21x_{21}x21	x22x_{22}x22	x23x_{23}x23	x24x_{24}x24
丙	x31x_{31}x31	x32x_{32}x32	x33x_{33}x33	x34x_{34}x34
丁	x41x_{41}x41	x42x_{42}x42	x43x_{43}x43	x44x_{44}x44

目标函数就是总的利润值 , 将两个表格中的元素按位相乘再相加即可 ;

约束条件 ① 每个人只能做一项工作 , 甲的对应 444 个变量相加之和等于 111 ; 同理乙丙丁对应的 444 个变量相加之和也等于 111 ;

约束条件 ② 每个工作只能指派一个人 , AAA 的对应 444 个变量相加之和等于 111 ; 同理 BCDBCDBCD 对应的 444 个变量相加之和也等于 111 ;

上述指派问题数学模型 :

maxZ=85x11+92x12+73x13+90x14+95x21+87x22+78x23+95x24+82x31+83x32+79x33+90x34+86x41+90x42+80x43+88x44s.t{x11+x12+x13+x14=1x21+x22+x23+x24=1x31+x32+x33+x34=1x41+x42+x43+x44=1x11+x21+x31+x41=1x12+x22+x32+x42=1x13+x23+x33+x43=1x14+x24+x34+x44=1xij=0,1(i,j=1,2,3,4)\begin{array}{lcl} \rm maxZ = 85x_{11} + 92x_{12} + 73x_{13} + 90x_{14} + \\ \rm \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 95x_{21} + 87x_{22} + 78x_{23} + 95x_{24} + \\ \rm \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 82x_{31} + 83x_{32} + 79x_{33} + 90x_{34} + \\ \rm \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 86x_{41} + 90x_{42} + 80x_{43} + 88x_{44} \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14} = 1 \\ \rm x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{24} = 1 \\ \rm x_{31} + x_{32} + x_{33} + x_{34} = 1 \\ \rm x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 1 \\\\ \rm x_{11} + x_{21} + x_{31} + x_{41} = 1 \\ \rm x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{42} = 1 \\ \rm x_{13} + x_{23} + x_{33} + x_{43} = 1 \\ \rm x_{14} + x_{24} + x_{34} + x_{44} = 1 \\\\ \rm x_{ij} = 0 , 1 \ \ \ \ (i , j= 1,2,3,4 ) \end{cases}\end{array}maxZ=85x11+92x12+73x13+90x14+ 95x21+87x22+78x23+95x24+ 82x31+83x32+79x33+90x34+ 86x41+90x42+80x43+88x44s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x11+x12+x13+x14=1x21+x22+x23+x24=1x31+x32+x33+x34=1x41+x42+x43+x44=1x11+x21+x31+x41=1x12+x22+x32+x42=1x13+x23+x33+x43=1x14+x24+x34+x44=1xij=0,1 (i,j=1,2,3,4)

指派问题与运输问题的约束方程的系数矩阵都是稀疏矩阵 , 元素取值只能取值 0,10, 10,1 ;

可以使用表上作业法解上述问题 , 但是该问题比运输问题更特殊 , 有更简单的方法求解 , 匈牙利法 ;

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【运筹学】整数规划 ( 整数规划求解方法 | 指派问题 )

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一、整数规划求解方法

二、指派问题

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