极值点、驻点、拐点的区别和联系

2024-04-19 17:29:56

文章目录

前言：
相关的概念定义和理解：
- 极值点
- 驻点
- 拐点
常用结论：
- 举个例子

前言：

本文主要详细解释了极值点、驻点、拐点的含义，以及它们之间相互的联系和区别之处。希望可以加深读者对于这一类概念的理解。

相关的概念定义和理解：

极值点

极值点：一阶导数发生变号的点，对于导数不存在的点，分析其左导数和右导数的正负是否相同，相同则不是极值点；若不同则为极值点。极值点是该点的x坐标值，而极值是该点对应的y坐标值。

驻点

驻点：只是单纯地符合f’(xo)=0的点,导数不存在的点不是驻点。

拐点

拐点：二阶导数发生变号的点，对于一阶导数不存在的点，分析其左一阶导数和右一阶导数的正负是否相同，相同则不是拐点；若不同则是拐点。

常用结论：

1.只要f’(xo)=0,那么该点就是驻点。

2.若f’(xo)=0,而f"(xo)≠0,该点一定是极值点。（简单地分析问什么？因为f’’(xo)≠0,那么f’(x)在xo点的左右一定具有变大或者变小的单调方向(f’’(x)在某种意义上，可以理解为f’(x)的变化趋势)，所以f’(xo)=0就是f(x)导数变号的零点。）

3.若f’’(xo)=0,而f’’’(xo)≠0，该点一定是拐点。（对于这里的结论也是同理，f’’’(x)代表着f’’(x)的变化趋势–大小和方向，所以当f’’’(xo)≠0,说明f’’(x)在xo点附近具有向上或者向下的单调方向，而f''(xo)=0就是f''(x)的导数变号的零点。）

举个例子

如图：

A点，一阶导数变号，所以是极值点；一阶导数的方向（即f"(x)未变号）没有变，所以不是拐点；一阶导数为0，所以是驻点。

B点，一阶导数不存在，看左导数和右导数极限都是负的，所以不是极值点；一阶左右导数的方向发生改变（即：左导数向下，右导数向上），所以是拐点；一阶导数不存在，所以不是驻点。

C点，与A点的分析一致，是极值点，不是拐点，是驻点。

D点，一阶导数不变号，所以不是极值点；一阶导数的方向发生改变，所以是拐点；一阶导数不为0，所以不是驻点。

E点，一阶导数不变号，所以不是极值点；一阶导数的方向发生改变，所以是拐点；一阶导数为0，所以是驻点。

答案：选B。

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