深入理解泊松分布、指数分布、正态分布

各种分布怎么来的

当统计学家们开始研究概率分布时，他们看到，有几种形状反复出现，于是就研究他们的规律，根据这些规律来解决特定条件下的问题。

泊松分布

传送门
假设一个馒头店，老板想知道应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？
如何采用均值的话不够好，有相当比例的时间不够卖。
于是老板思考采用其他的方法

把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用T来表示，然后把周一的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上，根据分布把T 均分为四个时间段：

在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）

但是，如果把周二的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了，因为每段时间可能卖出三个，可能卖出两个，这样的话就无法套用二项分布。

于是我们就将T切得越细越好
因为P服从二项分布，故可得

经过计算化简得
其中

最后可得概率密度曲线

根据该密度曲线，老板可以得出如果每天准备8个馒头，则93%的情况下够用

指数分布

传送门

推导

还是以上面这个例子为例
我们现在要研究的是卖出馒头的时间间隔服从什么分布
比如算间隔大于1天的概率
即只需满足有一天没有卖出馒头
故
如何使任意间隔时间怎么算呢？
我们对泊松分布进行拓展，变为泊松过程
即可求得分布函数
求导即可得概率密度函数，即指数分布

指数分布的图像

泊松分布和指数分布的数学期望

为什么指数分布常常用来描述电器寿命

传送门

摘要

沉默成本

大概指的是已经付出的、且不可收回的成本。
针对这个概念有一个常见的说法：沉默成本不是成本
- 这句话的意思是，既然沉没成本不可收回，那么在做选择的时候就不应该考虑它。举一个简单的例子，买票去看电影，放映10分钟你就知道这是一部烂片，那么有两个选项：继续看或者走人。此时这张电影票已经消费了，没有办法收回，购买电影票的钱就是沉没成本。这个时候如果想离开电影院就直接离开，不要去考虑为这张电影票付出的金钱。

赌徒心理

有一个赌徒在赌大小，他一直在押“大”，可是台上连续出了十把“小”，让他输了很多钱：赌徒认为，前面出了那么多把“小”，再出“小”的可能性非常小了，他想把他的全部身家押“大”，搏一把翻本。
数学上可以证明，“扔了十把’小’条件下，下一把出‘大’”的概率和“扔一把就出‘大’”完全一样

几何分布无记忆性

可以通俗地解释为，前面十把输的钱是沉没成本，完全不影响之后出“大”的概率。赌徒应该及时抽身止损，保住最后一点身家。

指数分布的例子

上厕所问题
- 小明在自家小卖部苦苦等待第一位上门的客人，已经等待三个小时了：小明想去上厕所，可是只有憋着，因为它想到等了这么久了，客人上门的概率会随着时间的推移而不断提高，所以一定要等到客人之后再去上厕所。
- 实际上这种想法是错的，前面等的三个小时是沉没成本，不会影响之后的来客概率，该上厕所就去上厕所。
电器寿命
- 如果将电器考虑作理想的电器，器件不会老化。此时，电器的寿命是随机的。内部彷佛每秒钟都在扔硬币，扔到了正面，电器就坏了。在这种情况下，我们认为电器的寿命服从指数分布。
- 现实中是不会有理想电器的，但是如果只考虑短时间内的电器寿命，那么就可以将之视作理想电器，认为它的寿命服从指数分布。
- 故电器不是用得越久越容易坏

正态分布

传送门
传送门2
传送门3

摘要
高尔顿钉板
高尔顿顶板展示了正态分布式怎么产生的

我们来看看高尔顿钉板的细节，或许有助于我们理解正态分布为什么常见。弹珠往下滚的时候，撞到钉子就会随机选择往左边走，还是往右边走
一颗弹珠一路滚下来会多次选择方向，最终的分布会接近正态分布

为什么世界上有这么多的正态分布

因素和结果，这两个都是随机事件，结果是因素的叠加
这个世界存在着大量的随机因素，很多随机因素之间并没有关联
中心极限定理
在适当的条件下，大量相互独立随机变量的相加经适当标准化后依分布收敛于正态分布

故如果影响一件事情的因素有很多，并且这些因素之间是弱相关的，那么这件事情的结果会趋向于正态分布

不服从正态分布的原因

如果大量的随机因素之间有关联，那么结果可能就不是正态分布
如果结果不是因素的相加，而是相乘，那么结果可能也不是正态分布
如果结果并不是很多因素作用的结果，那么结果也可能不是正态分布