如何简单地理解泊松分布

随笔：如何形象的理解泊松（poisson）分布

1. 提出假设

我们假设在时间段t上事件发生了k次，理想情况下没有事件在完全同一时间发生。那么令事件发生概率为p，根据二项分布，我们能得这样的概率为：
Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k(1)通过二项分布，那么（1）应该不难理解C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k} \quad (1)\\ 通过二项分布，那么（1）应该不难理解 Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k(1)通过二项分布，那么（1）应该不难理解
那么在n趋向于无穷大时n趋向于无穷大时n趋向于无穷大时我们能够得到
p{x=k}=lim⁡n→+∞(Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k)我们将p记为un展开计算得到原式=lim⁡n→∞n(n−1)(n−2)...(n−k+1)k!⋅uknk⋅(1−un)n−k=lim⁡n→∞ukk!⋅nnn−1n.....n−k+1n⋅(1−kn)−k(1−kn)n而{lim⁡n→+∞nnn−1n.....n−k+1n⋅(1−kn)−k=1lim⁡n→∞(1−un)n=e−u∴P{X=k}=ukk!e−u从而我们将u=λ得到了P{X=k}=λkk!⋅e−λp \{x=k\}=\lim_{n\to+\infty}(C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}) \\ 我们将p记为\frac{u}{n}展开计算得到 \\ 原式=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}\cdot \frac{u^{k}}{n^{k}}\cdot (1-\frac{u}{n})^{n-k} \\ =\lim_{n\to\infty}\frac{u^{k}}{k!}\cdot\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}.....\frac{n-k+1}{n}\cdot (1-\frac{k}{n})^{-k}(1-\frac{k}{n})^{n} \\ 而\left\{ \begin{aligned} & \lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}.....\frac{n-k+1}{n}\cdot(1-\frac{k}{n})^{-k}=1 \\ & \lim_{n\to \infty}(1-\frac{u}{n})^{n}=e^{-u} \end{aligned} \right. \\ \therefore P\{X=k\}=\frac{u^{k}}{k!}e^{-u}\\ 从而我们将u=\lambda \quad 得到了P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot e^{-\lambda} p{x=k}=n→+∞lim(Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k)我们将p记为nu展开计算得到原式=n→∞limk!n(n−1)(n−2)...(n−k+1)⋅nkuk⋅(1−nu)n−k=n→∞limk!uk⋅nnnn−1.....nn−k+1⋅(1−nk)−k(1−nk)n而⎩⎪⎨⎪⎧n→+∞limnnnn−1.....nn−k+1⋅(1−nk)−k=1n→∞lim(1−nu)n=e−u∴P{X=k}=k!uke−u从而我们将u=λ得到了P{X=k}=k!λk⋅e−λ

2. 期望与方差

我们知道eλ的taylor展开式为:eλ=1+x+x22!+...+xnn!=∑k=1∞xk−1(k−1)!而泊松分布的期望为E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!∴E(X)=λe−λeλ=λ同理得到E(X2)=λe−λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)∴D(X)=λ我们知道e^{\lambda}的taylor展开式为:\\ e^{\lambda}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}\\ 而泊松分布的期望为E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!} \\ \therefore E(X)=\lambda e^{-\lambda} e^{\lambda}=\lambda \\ 同理得到 E(X^{2})=\lambda e^{-\lambda}(\lambda e^{\lambda}+e^{\lambda}) =\lambda(\lambda +1) \\ \therefore D(X)=\lambda 我们知道eλ的taylor展开式为:eλ=1+x+2!x2+...+n!xn=k=1∑∞(k−1)!xk−1而泊松分布的期望为E(X)=k=1∑∞k⋅k!λke−λ∴E(X)=λe−λeλ=λ同理得到E(X2)=λe−λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)∴D(X)=λ