匹配问题

匹配问题
- 问题
- 解决方法一
  - 问题a
  - 问题b
- 解决方法二
  - 问题a
  - 问题b

问题

一个屋子里面有N个人，每个人有一顶帽子。假如所有人把帽子扔到屋子中央，然后每个人都随机选一顶帽子。
a) 没有人捡到自己帽子的概率；
b) 有k(k⩽N)k(k \leqslant N)个人捡到自己帽子的概率。

解决方法一

问题a

先计算至少有一个人捡到自己帽子的概率。设Ei,i=1,2,…,NE_i,i=1,2,\dots,N表示事件第i个人捡到了他自己的帽子。现在，根据容斥原理，至少一个人捡到自己帽子的概率P(⋃i=1NEi)P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^NE_i)就等于：

P(⋃i=1NEi)=∑i=1NP(Ei)−∑i1<i2P(Ei1Ei2)+…+(−1)n+1∑i1<i2⋯<inP(Ei1Ei2…Ein)+⋯+(−1)N+1P(E1E2…EN)

\begin{array}{cl} P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^NE_i) = & \displaystyle\sum_{i=1}^NP(E_i)-\sum_{i_1

如果将实验结果看作是一个NN维数组的话，其中第ii个元素表示被第ii个人捡到的帽子的编号，那么有N!N!种可能的结果(例如结果(1,2,3,…,N)(1,2,3,\dots,N)表示所有人都拿到了自己的帽子)。进一步的，Ei1Ei2…EinE_{i_1}E_{i_2}\dots E_{i_n} 表示事件是i1,i2,…,ini_1,i_2,\dots,i_n这nn个人拿到了自己的帽子，这样的可能有(N−n)(N−n−1)⋯3⋅2⋅1=(N−n)!(N-n)(N-n-1)\cdots3\cdot2\cdot1=(N-n)!种，因为剩下的N−nN-n个人中随便选帽子。总共的可能结果是N!N!种，因此：

P(Ei1Ei2⋯Ein)=(N−n)!N!

P(E_{i_1}E_{i_2}\cdots E_{i_n}) = \frac{(N-n)!}{N!}
同时，对于 ∑i1<i2<⋯<inP(Ei1Ei2…Ein)\displaystyle\sum_{i_1 总共有 (Nn)\binom{N}{n}(即 CnNC_N^n)种选法，因此：

∑i1<i2<⋯<inP(Ei1Ei2…Ein)=N!(N−n)!(N−n)!n!N!=1n!

\displaystyle\sum_{i_1
因此，

P(⋃i=1NEi)=1−12!+13!−⋯+(−1)N+11N!

P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^NE_i)=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\cdots+(-1)^{N+1}\frac{1}{N!}
所以，没有人捡到自己帽子的概率就是：

1−1+12!−13!+⋯+(−1)NN!

1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^N}{N!}
NN非常大时，此概率为e−1≈.36788e^{-1}\approx.36788.也就是说， NN很大时，没有人捡到自己帽子的概率大约是.37，而不是很多人认为的概率会趋向于1当N→∞时N\rightarrow\infty时

问题b

设EE表示事件kk人中每个人都拿到了自己的帽子，GG表示事件其它的N−kN-k个人中没有人拿到自己的帽子。则：

P(EG)=P(E)P(G|E)

P(EG)=P(E)P(G|E)
设 Fi,i=1,…,kF_i,i=1,\dots,k，表示事件第 ii个人拿到了自己的帽子。则：

P(E)====P(F1F2⋯Fk)P(F1)P(F2|F1)P(F3|F2F1)⋯P(Fk|F1⋯Fk−1)1N1N−11N−2⋯1N−k+1(N−k)!N!

\begin{array}{ccl} P(E) & = & P(F_1F_2\cdots F_k) \\ & = & P(F_1)P(F_2|F_1)P(F_3|F_2F_1)\cdots P(F_k|F_1\cdots F_{k-1})\\ & = & \frac{1}{N} \frac{1}{N-1}\frac{1}{N-2}\cdots \frac{1}{N-k+1}\\ & = & \frac{(N-k)!}{N!} \end{array}

已知kk人中的每个人都捡到了自己的帽子，其它的N−kN-k个人将随机的在他们的N−kN-k个帽子中选择，因此其它人中没有人捡到自己帽子的概率是：

P(G|E)=PN−k=∑i=0N−k(−1)i/i!

P(G|E) = P_{N-k} = \displaystyle\sum_{i=0}^{N-k}(-1)^i/i!
因此，指定的 kk人捡到自己帽子而其它人没有捡到自己帽子的概率是：

P(EG)=(N−k)!N!PN−k

P(EG)=\frac{(N-k)!}{N!}P_{N-k}
因为选择 kk人有(Nk)\binom{N}{k}种方法，因此，要求的概率就是：

P(只有k个人捡到自己帽子)=PN−k/k!≈e−1/k!当k很大时

P(只有k个人捡到自己帽子)=P_{N-k}/k!\approx e^{-1}/k! \quad 当k很大时

解决方法二

问题a

设EE表示事件没有匹配发生，此事件显然与nn有关，记为Pn=P(E)P_n=P(E). 我们从第一个人是否选择到了自己的帽子开始——分别记为MM和MCM^C。则：

Pn=P(E)=P(E|M)P(M)+P(E|MC)P(MC)

P_n=P(E)=P(E|M)P(M)+P(E|M^C)P(M^C)
显然， P(E|M)＝0P(E|M)＝0，因此

Pn=P(E|MC)n−1n(1)

P_n=P(E|M^C)\frac{n-1}{n}\quad(1)
现在， P(E|MC)P(E|M^C)剩下 n−1n-1个人都没有捡到自己帽子的概率(且其中一人的帽子不在这些帽子中，因为已经被第一个人捡走了)。此事发生可由两种独立事件组成：那个人捡到了第一个人的帽子且其它人都没有捡到自己的帽子，以及那个人捡到了除了第一个人和他自己的帽子以外的一顶帽子，且其它人都没有捡到自己的帽子。前者的概率是 [1/(n−1)]Pn−2[1/(n-1)]P_{n-2}，由此可得：

P(E|MC)=Pn−1+1n−1Pn−2

P(E|M^C)=P_{n-1}+\frac{1}{n-1}P_{n-2}
因此，由式 (1)(1)，可以得到：

Pn=n−1nPn−1+1nPn−2

P_n = \frac{n-1}{n}P_{n-1}+\frac{1}{n}P_{n-2}
或者，等价地：

Pn−Pn−1=−1n(Pn−1−Pn−2)(2)

P_n-P_{n-1} = -\frac{1}{n}(P_{n-1}-P_{n-2})\quad(2)
再由于 PnP_n表示 nn个人中无匹配的概率，因此：

P1=0P2=12

P_1 = 0\quad\quad P_2=\frac{1}{2}
由 (2)(2)式，得：

P3−P2=−P2−P13=−13!P4−P3=−P3−P24=−14!ororP3=12!−13!P4=12!−13!+14!

\begin{array}{lcl} P_3-P_2=-\frac{P_2-P_1}{3}=-\frac{1}{3!} & or & P_3 = \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} \\ P_4-P_3=-\frac{P_3-P_2}{4}=-\frac{1}{4!} & or & P_4 = \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} \\ \end{array}
由此，一般地，

Pn=12!−13!+14!−⋯+(−1)nn!

P_n = \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{n!}

问题b

为了计算只有kk人得到自己帽子的概率，我们考虑一个确定的kk人组，有且只有此kk人捡到自己帽子的概率是：

1n1n−1⋯1n−(k−1)Pn−k=(n−k)!n!Pn−k

\frac{1}{n}\frac{1}{n-1}\cdots\frac{1}{n-(k-1)}P_{n-k}=\frac{(n-k)!}{n!}P_{n-k}
其中Pn−lP_{n-l}表示其它n−kn-k个人没有捡到自己帽子的概率。总共有(nk)\binom{n}{k}种选法，因此有且只有kk个捡到自己帽子的概率是：

Pn−kk!=12!−13!+⋯+(−1)n−k(n−k)!k!

\frac{P_{n-k}}{k!}=\frac{\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!}}{k!}

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