1 两圆求交

1.1 思路

可以将两圆的位置关系分为3种情况：相交、相离、包含（这里我将外部相切的情况归为相离，内部相切归为包含。）
我们知道两圆的圆心坐标以及半径，就可以根据圆心距与两圆半径距离进行相交情况判断。伪代码如下

%dis为圆心距
if(dis >= r1+r2||abs(r1-r2) >= dis) %相离、包含else%相交
end

1.2 求交点

首先考虑最一般的情况，及两圆相交，有两个交点。如何求相交点呢？

第一种方法是联立两圆方程求解，这种方法比较暴力，鄙人喜欢温柔一点的。
第二种方式是几何方法：

求圆心向量AB与X轴夹角θ
求向量AC与向量AB的夹角α
联立方程，求出AD
AD²+ CD²= r₁²
DB²+ CD²= r₂²
r₁²+ r₂²=AB²
α=acos(AD/AC)
上述方程没有考虑到∠ACB是否为90°，所以有问题。这里采用余弦定理
α=acos((r₁²+AB²-r₂²)/2*r₁*AB)
那么C点和E点坐标也就知道了。

具体代码如下

%两圆心连线与X轴夹角，逆时针为正
theta = atan2d(y2-y1,x2-x1);
ad = (r1^2-r2^2+dis^2)/(2*dis);
%交点与圆心1连线的向量与两圆心连线的夹角
alpha = acosd(ad/r1);
crosspoint1 = [x1+r1*cosd(theta+alpha);y1+r1*sind(theta+alpha)];
crosspoint2 = [x1+r1*cosd(theta-alpha);y1+r1*sind(theta-alpha)];
crosspoint = [crosspoint1 crosspoint2];

1.3 选取探测点

找到交点（图中红点）后下一步就是找两圆重合部分，这里以找到重合部分的边界（图中红线）为目标。

我们知道一个圆上2个点可以将圆分为2段弧，3个点可以分为3段弧。现在相交圆上有两段弧，我们可以在每段弧中间再取一个点，作为试探点（上图中蓝点），检查该点是否同时满足距离两圆圆心距离小于其圆的半径，若满足则说明该试探点所在的弧为重合部分的边界（即重合弧）。
遍历两圆上的试探点，我们就得到了所有重合弧的信息啦！弧的表示方法有很多种，这里我用5个参数表示一段弧。

x %弧所在圆的坐标
y
r%弧所在圆的半径
startAngle%弧的起始角
plusAngle%弧的增加角

圆弧的表示

1.4 相离包含情况

需要注意的是，当两圆为相离或包含关系时是没有交点的，但是怎么确定包含关系时的重合边界呢？
这里可以将整个圆当做一条弧，规定当圆上没有相交点时，人为的增加一个探测点。然后再进行探测点遍历就可以啦

相离情况

包含情况

2 多圆求交

多个圆相交也是上面的思路，首先对所有圆进行遍历，两两求交点，根据交点求每一个圆上的探测点；再对所有圆进行遍历，检验探测点是否满足条件，满足的话该探测点所在的弧即为重合的边界（重合弧）。

3 圆环求交

3.1 思路

圆如何求交我们已经搞清楚了，两个圆环求交呢？
首先考虑一个圆环是由两个同心圆组成的，一个内圆一个外圆。我们完全可以把一个圆环看成两个圆，从而两个圆环求交的问题就转化成了4个圆求交的问题。

3.2 操作

需要注意的是，探测点与内外圆的判断是不一样的。

对于外圆，重合部分的探测点到该圆圆心的距离应<=该圆半径
对于内圆，重合部分的探测点到该圆圆心的距离应>=该圆半径

其他部分都一样

3 多圆环求交

想必你已经会了

4 matlab代码

使用了面向对象编程思想，将圆封装成了一个类，包含了圆的位置坐标，半径，交点等属性。
完整程序下载链接: matlab 多圆/圆环求交.

觉得有帮助的话就给我个赞吧！！！

main函数

clear all
% circle = 5*rand(3,4);%随机生成10个圆
%3圆环 前两行为XY坐标，第三行为半径，第四行为内外圆标志
circle = [0,0,4,4,2,2;0,0,0,0,3,3;1,6,1,6,1,6;-1,1,-1,1,-1,1];
%2圆环
% circle = [0,0,5,5;
%     0,0,0,0;
%     3,6,3,6;
%     -1,1,-1,1];
%3外圆
% circle = [-1,1,0;
%           0,0,2;
%          3,3,3;
%           1,1,1];
[~,col] = size(circle);
%-------交点列表 用于画图-------
crossPointsList = [];
%---------弧列表初始化----------
arcList = [];
%---------圆列表初始化----------
cirList(col) = Circle();%建立类对象数组
for i = 1:colcirList(i).cirNum = i;cirList(i).cirPro = circle(1:3,i) ;cirList(i).cirType = circle(4,i) ;
end
%---------遍历所有圆，两两求交--------
for i = 1:colfor j = i+1:col%两圆交点crossPoint = ArcIntersection(cirList(i),cirList(j));%如果有交点if ~isempty(crossPoint)%将交点放入交点列表crossPointsList(:,end+1:end+2) = crossPoint;endendPlotCir(cirList(i));%画圆hold on;cirList(i).CrossPointsAngle();%画出两交点的中心点if ~isempty(cirList(i).middlePoints)plot(cirList(i).middlePoints(1,:), ...cirList(i).middlePoints(2,:), ...'b.','MarkerSize',25);hold on;end
end
%--------画出交点-----------
if isempty(crossPointsList)fprintf('无任何交点\n');
elseplot(crossPointsList(1,:),crossPointsList(2,:),'r.','MarkerSize',25);hold on;
end%% 判断哪些弧属于重合弧
for i = 1:colarcFlag = (1:cirList(i).numArc);for j = 1:col%跳过自身判断if (i == j)continueendpos = cirList(i).middlePoints - cirList(j).cirPro(1:2,:);d = (pos(1,:).^2+pos(2,:).^2).^0.5;%如果是外圆if cirList(j).cirType == 1 arcOder_temp = find(d <= cirList(j).cirPro(3)); %满足要求的弧的序号else %如果是内圆arcOder_temp = find(d >= cirList(j).cirPro(3)); %满足要求的弧的序号endarcFlag = intersect(arcFlag,arcOder_temp);end%如果没有n次相交弧if isempty(arcFlag)fprintf('%d号圆没有n次相交弧\n', cirList(i).cirNum);continue;elsearcList_temp = ones(3,size(arcFlag,2)).*cirList(i).cirPro;arcList_temp(4,:) = cirList(i).cirArcList(1,arcFlag);arcList_temp(5,:) = cirList(i).cirArcList(2,arcFlag);arcList = [arcList arcList_temp];end
end
%画圆弧
PlotArc(arcList,20)
title('三圆环求交')
xlabel('x')
ylabel('y')
%axis([-5 5 -5 5])

Circle类

classdef Circle < handle%圆类properties%圆的编号cirNum%圆的属性 x y rcirPro%圆的类型 1代表外环 -1代表内圆 0代表默认值cirType%圆的交点列表 交点的 x ycirCrossPoints%圆弧列表 第一行是弧的起点角度 第二行是弧转过的角度（逆时针）cirArcList%圆弧数量numArc%交点中间点 x y anglemiddlePointsendmethods%构造函数function obj = Circle(ciecle,type)if nargin == 0obj.cirPro = zeros(3,1);obj.cirType = 0;elseif nargin == 1obj.cirPro = ciecle;obj.cirType = 0;elseif nargin == 2obj.cirPro = ciecle;obj.cirType = type;endend%求交点与圆心连线 与 X轴夹角function CrossPointsAngle(obj)xr = obj.cirPro(1);yr = obj.cirPro(2);r = obj.cirPro(3);if  ~isempty(obj.cirCrossPoints)vector = [obj.cirCrossPoints(1,:)-xr;obj.cirCrossPoints(2,:)-yr];%向量与X轴夹角angle = atan2d(vector(2,:),vector(1,:));%根据夹角排序angleOrder = CrossPointsSort(angle);%生成圆弧列表obj.cirArcList(1,:) = angleOrder;obj.cirArcList(2,:) = [diff(angleOrder),angleOrder(1)-angleOrder(end)+360];%计算圆弧数量obj.numArc = size(obj.cirArcList,2);%生成每个段圆弧的中间的探测点middleAngle = obj.cirArcList(1,:) + obj.cirArcList(2,:)/2;obj.middlePoints = [xr+cosd(middleAngle).*r;yr+sind(middleAngle).*r];else %如果一个圆和其他圆没有交点，规定一个默认探测点obj.cirArcList(1,:)=0;obj.cirArcList(2,:)=360;obj.numArc = 1;%生成每个段圆弧的中间的探测点middleAngle = obj.cirArcList(1,:) + obj.cirArcList(2,:)/2;obj.middlePoints = [xr+cosd(middleAngle).*r;yr+sind(middleAngle).*r];%fprintf('%d号圆与其他圆均无交点\n',obj.cirNum);endendend
end%圆的交点排序 交点与X轴夹角从小到大排序
function angleOrder = CrossPointsSort(angle)
array = find(angle<0);
%将小于0°的角度 转为大于0°
angle(array)=angle(array)+360;
%对圆的交点列表进行排序 因为是行排序 用sortrows时需要转置
tempAngle = sortrows(angle',1);
angleOrder = tempAngle';
end

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目录

1 两圆求交

1.1 思路

1.2 求交点

1.3 选取探测点

1.4 相离包含情况

2 多圆求交

3 圆环求交

3.1 思路

3.2 操作

3 多圆环求交

4 matlab代码

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1.3 选取探测点

1.4 相离 包含情况

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