数量关系—工程问题

数量关系工程问题分为以下几个类别：

给出完工时间型

给出效率比

经典-牛吃草问题

给出具体单位型

1.给出完工时间型

解题步骤如下：

赋总量（完工最小时间公倍数)
算效率
根据具体情况列方程或者式子

例题1

(2018 陕西）要完成某项工程，甲施工队单独干需要 30 天才能完成，
乙施工队需要 40 天才能完成。甲、乙合作干了 10 天，因故停工 10 天，再开工
时甲、乙、丙三个施工队一起工作，再干 4 天就可全部完工。那么，丙队单独干
需要大约多少天才能完成这项工程？
A.21 B.22
C.23 D.24
E.25 F.26
G.27 H.28

解：通过阅读题目可知本题目为完工时间型

赋总量：30和40最小公倍数==120
算效率：甲== 4，乙==3
列式子：设丙==X，则有

（3+4)* 10+(3+4+X)* 4=120

x=5.5

120/5.5约为21.8，所以选B

例题2

（ 2019 北京）录入员小张和小李需要合作完成一项录入任务，这项
任务小李一人需要 8 小时，小张一人需要 10 小时。两人在共同工作了 3 个小时
后，小李因故回了趟家，期间小张一直在工作，小李返回后两个人又用了 1 个小
时就完成了任务。在完成这项任务的过程中，小张比小李多工作了几个小时？
A.1 B.1.5
C.2 D.2.5

解：通过阅读题目可知本题目为完工时间型

赋总量：8和10的最小公倍数为40
算效率：李：5，张：4
列式子：（小张效率+小李效率）*共同工作时间+小张效率 *单独工作时间==40

（5+4）*4+4 * 所求=40

得到答案为A

2.给出效率比例型

解题步骤如下：

赋效率（满足题目所给比例即可）
算总量，总量==效率比*时间
根据题目列式子或者方程

例题1

（ 2019 江西）甲、乙两个工程队共同参与一项建设工程。原计划由
甲队单独施工 30 天完成该项工程三分之一后，乙队加入，两队同时再施工 15
天完成该项工程。由于甲队临时有别的业务，其参加施工的时间不能超过 36 天，
那么为全部完成该项工程，乙队至少要施工多少天？
A.18 B.20
C.24 D.30

解：根据题目 甲队单独施工 30 天完成该项工程三分之一后，乙队加入，两队同时再施工 15天完成该项工程。可以知道这是效率比型，如果是完工时间型，那么应该说甲用30天完成全部工作，或者说，乙用20天完成全部工作，或者说，甲乙用20天合作完成工作

假设甲的效率为“1”
算总量：那么，30*1=总量/3，总量为90，在这一步根据“乙队加入，两队同时再施工 15
天完成该项工程”得到

设乙的效率为“X”，那么，(1+X)*15=90 *(2/3),得到X=3

列式子：

36*1+( ? ) *3==90,解得18，所以选A

例题2

2016 河南）甲、乙、丙三个植树队同时各种 400 棵树，当甲队把
400 棵树全部种完时，乙队还有 150 棵树没种，丙队才种了 220 棵树。当乙队全
部种完时，丙队还有多少棵树没种？
A.48 B.52
C.66 D.74

**解：**这道题问“当乙队全部种完时，丙队还有多少棵树没种”但是在题目中没有给出乙和丙对的完工时间，所以是效率比问题。

根据题目可以知道当乙对种植250棵树时，丙对种植了220棵树并且他们花费的时间相同，效率*时间=工程量

所以乙效率：丙效率==25:22

当乙种植完400棵树，花费时间16，丙种植了16*22=352棵，所以答案为400-352=48

3.牛吃草问题

牛吃草问题只要记住公式就成

*Y==(N * 牛吃草的效率-X)T

Y==草的总数

N==牛的数量

X==草生长的效率

T==时间

一般默认牛吃草的效率为“1”，所以公式为*Y==(N * -X)T

问题识别：总量是随时间变化的，就好像牛吃草的过程中，草也会生长；

形式上是排比句，如:一片草地，20 头牛 10 天吃完，10 头牛 30 天吃完，问 30 头牛几天吃完？

例题1

2019 安徽）某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程
队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用 1 台挖
沙机 300 天可完成清淤工作，使用 2 台挖沙机 100 天可完成清淤工作。为了尽快
让河道恢复使用，上级部门要求工程队 25 天内完成河道的全部清淤工作，那么
工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？
A.4 B.5
C.6 D.7

解: "清淤时上游河水又会带来新的泥沙"以及“1 台挖沙机 300 天可完成清淤工作，使用 2 台挖沙机 100 天可完成清淤工作”可以知道是牛吃草问题，在本题中没有给出清理淤泥的效率，所以默认为一

列方程：

Y==(1-X)*300

Y==(2-x)*200

解得X == 0.5，Y==150

(挖机数量-0.5)*25>=150,解得6.5，所以答案为7

扩展

如果问放几台挖机，泥沙永远挖不完，允许是小数，那么答案是0.5泥沙永远清理不完

这种问题的答案==X，记住即可

例题2

2018 深圳）某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员
发现险情后立即开启抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水 20 立方米，
若同时使用 2 台抽水机 15 分钟能把水抽完，若同时使用 3 台抽水机 9 分钟能把
水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮船已进水多少立方米？

A.360 B.450
C.540 D.600

**解：**本题由于给出了“每台抽水机每分钟抽水 20 立方米”，相当于给出了牛吃草的效率，所以不可以再默认为“1”

Y==(2*20-X) *15

Y==(3*20-X) *9

解得：X== 10，Y==450，所以选B

4.给出具体单位型

特征：：如做 1000 个蛋糕、挖 1200 米的公路、做 500套零件。“个、米、套”属于具体单位。

解题步骤：

设未知数，设小不设大，设中间量
找到等量关系列方程

例题1

2019 陕西）制作一批风筝，甲需要 12 天完成，乙需要 18 天完成，
两人共同制作，完成时甲比乙多制作了 72 个，如果按“甲制作一天、乙制作两
天”的方式重复下去，当制作完成时，甲制作的风筝有多少个

A.140 B.145
C.150 D.155
E.160 F.165
G.170 H.175

刚读到“甲需要 12 天完成，乙需要 18 天完成”以为是普通的工程问题，赋值总量为 36。但是读到“完成时甲比乙多制作了 72 个”，出现具体单位，问题是“甲制作的风筝有多少个”，也出现了具体单位，求的是具体个数。

解：

设风筝总量为甲乙的最小公倍数，即36X，那么甲的效率== 3X，乙的效率==2X

设时间为T那么：(3X+2X)*T=36X 那么T== 7.2，又“完成时甲比乙多制作了 72 个”

有（3X-2X）*7.2== 72，所以X== 10，并且可算得风筝总数==360

一个周期所做风筝总数== 甲的效率*1天+乙的效率 *2天==70，所以做5个周期后还有10个，刚好由甲来完成

所以，甲制作风筝数==30*5+20 ==160所以选E

小结