problem

BOZJ3093

solution

逆概率公式，即贝叶斯(Bayes)公式：

假设 B1,B2,...,BnB_1,B_2,...,B_nB1,B2,...,Bn 是 Ω\OmegaΩ 的一个分割，P(A)>0P(A)>0P(A)>0，则有
P(Bk∣A)=P(ABk)P(A)=P(Bk)P(A∣Bk)∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(B_k|A)=\frac{P(AB_k)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)} P(Bk∣A)=P(A)P(ABk)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bk)P(A∣Bk)
如果我们把事件 AAA 看做结果，把诸事件 B1,B2...B_1,B_2...B1,B2... 看做导致这个结果的可能的原因。

则可以形象地把全概率公式看做成为 由原因推结果。

而贝叶斯公式是 由结果推原因：现在有一个结果A 已经发生，在众多可能的 原因 中，求这些 原因 导致了 结果A 的概率分别是多少，概率最大那个 原因 就最可能导致 结果A。
∑m=0nCn−miCmj=Cn+1i+j+1\sum_{m=0}^nC_{n-m}^iC_{m}^j=C_{n+1}^{i+j+1} m=0∑nCn−miCmj=Cn+1i+j+1

证明：

相当于有 n+1n+1n+1 个球，编号从 0∼n0\sim n0∼n

枚举编号为 mmm 的球必选，然后编号小于 mmm 的球选 jjj 个，编号大于 mmm 的球选 iii 个

一共就是从 n+1n+1n+1 个中选 i+j+1i+j+1i+j+1 个球的方案数

因为不管从哪个位置开始划分，要求前后选的个数都是固定的

一个数列中不可能有两个位置满足前后个数都一样

所以一定是不重的

对于本题，把选了 ppp 个球其中有 qqq 个是红球看作结果 AAA，把原先一共有 kkk 个红球看作原因 BkB_kBk。

每一个原因的产生概率都是相同的，即 P(Bk)=1n+1P(B_k)=\frac{1}{n+1}P(Bk)=n+11。

在某个原因下导致结果的概率，因为小球概率一样可用组合数计算，即 P(A∣Bk)=CkqCn−kp−qCnpP(A|B_k)=\frac{C_k^qC_{n-k}^{p-q}}{C_n^p}P(A∣Bk)=CnpCkqCn−kp−q

先求某一种原因导致最后结果的概率：
P(Bk∣A)=P(Bk)P(A∣Bk)∑i=0nP(Bi)P(A∣Bi)=1n+1CkqCn−kp−qCnp∑i=0n1n+1CiqCn−ip−qCnp=CkqCn−kp−qCn+1p+1P(B_k|A)=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{i=0}^nP(B_i)P(A|B_i)}=\frac{\frac{1}{n+1}\frac{C_k^qC_{n-k}^{p-q}}{C_n^p}}{\sum_{i=0}^n\frac{1}{n+1}\frac{C_i^qC_{n-i}^{p-q}}{C_n^p}}=\frac{C_k^qC_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}} P(Bk∣A)=∑i=0nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bk)P(A∣Bk)=∑i=0nn+11CnpCiqCn−ip−qn+11CnpCkqCn−kp−q=Cn+1p+1CkqCn−kp−q
最后的答案是求和每种原因导致结果后再抽一个红球的概率。
ans=∑k=0nP(Bk∣A)⋅k−qn−p=∑k=0nCkqCn−kp−qCn+1p+1⋅k−qn−p=∑k=0nCkq(k−q)Cn−kp−qCn+1p+1(n−p)ans=\sum_{k=0}^nP(B_k|A)·\frac{k-q}{n-p}=\sum_{k=0}^n\frac{C_k^qC_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}}·\frac{k-q}{n-p}=\frac{\sum_{k=0}^nC_{k}^{q}(k-q)C_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}(n-p)} ans=k=0∑nP(Bk∣A)⋅n−pk−q=k=0∑nCn+1p+1CkqCn−kp−q⋅n−pk−q=Cn+1p+1(n−p)∑k=0nCkq(k−q)Cn−kp−q

Ckq(k−q)=k!q!(k−q!)(k−q)=k!(k−q−1)!q!=k!(k−q−1)!(q+1)!(q+1)=Ckq+1(q+1)C_{k}^{q}(k-q)=\frac{k!}{q!(k-q!)}(k-q)=\frac{k!}{(k-q-1)!q!}=\frac{k!}{(k-q-1)!(q+1)!}(q+1)=C_{k}^{q+1}(q+1) Ckq(k−q)=q!(k−q!)k!(k−q)=(k−q−1)!q!k!=(k−q−1)!(q+1)!k!(q+1)=Ckq+1(q+1)

ans=∑k=0nCkq+1(q+1)Cn−kp−qCn+1p+1(n−p)=(q+1)Cn+1p+2(n−p)Cn+1p+1=(q+1)(n+1)!(p+2)!(n−p−1)!(n−p)(n+1)!(p+1)!(n−p)!=q+1p+2ans=\frac{\sum_{k=0}^nC_{k}^{q+1}(q+1)C_{n-k}^{p-q}}{C_{n+1}^{p+1}(n-p)}=\frac{(q+1)C_{n+1}^{p+2}}{(n-p)C_{n+1}^{p+1}}=\frac{(q+1)\frac{(n+1)!}{(p+2)!(n-p-1)!}}{(n-p)\frac{(n+1)!}{(p+1)!(n-p)!}}=\frac{q+1}{p+2} ans=Cn+1p+1(n−p)∑k=0nCkq+1(q+1)Cn−kp−q=(n−p)Cn+1p+1(q+1)Cn+1p+2=(n−p)(p+1)!(n−p)!(n+1)!(q+1)(p+2)!(n−p−1)!(n+1)!=p+2q+1

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因代码过于简单，所以就不放了

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