matlab中表示拉普拉斯分布_拉普拉斯分布的随机数

一、功能

产生拉普拉斯分布的随机数。

二、方法简介

1、产生随机变量的组合法

将分布函数$F(x)$分解为若干个较为简单的子分布函数的线性组合

\[F(x)=\sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x)

其中 $ p_{i}> 0 \ (\forall i) $ ，且 $ \sum_{i=1}^{K}p_{i}=1 $ ，$F(x)$是分布函数。

定理若随机变量$\xi \sim s$离散分布$\left \{ p_{i} \right \}$，即$P(\xi =i)=p_{i}$，并且$z \sim F_{\xi }(x)$，取$z=x$，则$z \sim F(x) = \sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x)$

证明$z$的分布函数为

\[P(z \leqslant t) = P((z \leqslant t) \cap \bigcup_{i=1}^{K}( \xi = i)) \\

= \sum_{i=1}^{K}P(z \leqslant t, \xi =i) \\

= \sum_{i=1}^{K}P(\xi = i)P(z \leqslant t \mid \xi =i) \\

= \sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(t)=F(t)

定理证毕。

根据此定理，我们给出产生随机数的组合算法如下：

产生一个正随机数$\xi$，使得$P(\xi = i) = p_{i} \ (i = 1,2,...,K)$；

在$\xi = i$时，产生具有分布函数$F_{i}(x)$的随机变量$x$。

该算法中首先以概率$p_{i}$选择子分布函数$F_{i}(x)$，然后取$F_{i}(x)$的随机数作为$F(x)$的随机数。

2、产生拉普拉斯分布随机数的方法

拉普拉斯分布的概率密度函数为

\[f(x) = \frac{1}{2\beta }e^{-\frac{\left | x \right |}{\beta }}

Laplace分布的均值为0，方差为$2\beta ^{2}$。拉普拉斯分布也称为双指数分布。

根据上述的组合算法，产生拉普拉斯分布随机数的方法为：

产生均匀分布的随机数$u_{1}$和$u_{2}$，即$u_{1},u_{2} \sim U(0,1)$；

计算\(x = \left\{\begin{matrix}

-\beta \ ln(1 - u_{1}) & u_{1} \leqslant 0.5 \\

\beta \ ln(u_{2}) & u_{2} > 0.5

\end{matrix}\right.\)

三、使用说明

使用C语言实现产生拉普拉斯分布随机数的方法：

#include "math.h"

#include "uniform.c"

double laplace(double beta, long int *s)

{

u1 = uniform(0.0, 1.0, s);

u2 = uniform(0.0, 1.0, s);

if(u1 <= 0.5)

x = -beta * log(1.0 - u2);

else

x = beta * log(u2);

return(x);

}

uniform.c文件参见均匀分布的随机数

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