平衡二叉树的平衡因子只会有三种值：-1，0，1。在平衡二叉树插入或者删除一个结点时，很可能破坏其平衡性，为了调整平衡性，因此需要执行旋转。

平衡因子

平衡因子：某结点左右子树的高度差值
【例】如下图

一个结点的平衡因子=该节点左子树深度-该节点右子树深度
于是：
5的结点平衡因子就是 3 - 2 = 1；
2的结点平衡因子就是 1 - 2 = -1；
4的结点平衡因子就是 1 - 0 = 1；
6的结点平衡因子就是 0 - 1 = -1；
叶子结点没有子树，于是叶子结点的平衡因子都是0

平衡二叉树和不平衡的二叉树的对比：

对于平衡二叉树产生了不平衡之后，如何进行平衡调整？
注意：每次都是按照最小不平衡子树进行调整

LL平衡旋转

当在某个结点的左孩子的左子树新插入了结点，需要进行LL平衡旋转，向右旋

如下图：（方框部分是对子树进行了抽象封装，同时这些子树的高度都是H，并且假设它们都是平衡的，下同）

上图说明：
(a) 初始状态是平衡状态，A，B结点的平衡因子分别是1，0；并且它们之间有一个潜在的大小关系：BL < B < BR < A < AR
(b) B的左子树插入了一个结点，导致A结点的平衡因子变为2，此时不满足二叉平衡树的要求（平衡因子只能是-1，0，1）
由于A结点的平衡因子为2，说明左边大，右边小，为了保持平衡，需要右旋。

执行右旋后，B结点的右子树会变成A结点的左子树，使得仍然满足大小关系：BL < B < BR < A < AR

＊注意二叉排序树的特性：左子树结点值 < 根结点值 < 右子树结点值

( c ) 由于B的左子树增加了一个结点，使得高度加了1，此时B的平衡因子为0，又重新变成了平衡二叉树。

【例】如下图

插入9之后，变得不平衡，找到最小不平衡子树，由于不平衡发生在15结点的左孩子的左子树，于是需要对15的左孩子10执行LL平衡旋转，即向右旋，10替换15的位置，将15变成10的右孩子

RR平衡旋转

当在某个结点的右孩子的右子树插入了结点，需要进行RR平衡旋转，向左旋

B结点左旋到A结点的位置，为保证各节点大小顺序不变，B的左子树变为A的右子树

【例】

如上图所示，插入结点90后，产生了不平衡，于是先找到最小不平衡子树

由于不平衡发生在以66为根结点的右孩子的右子树，因此需要执行RR平衡旋转，即就是向左旋。

让不平衡结点66的右孩子68左旋，68替代66，为保证各结点的大小顺序不发生改变，将68的左孩子变成你66的右孩子。

LR平衡旋转

当在某个结点的左孩子的右子树插入了结点，需要进行LR平衡旋转，先向左旋，再向右旋

如上图所示，先将A结点的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升到B结点的位置，将C的左子树变为B的右子树；

然后再把C结点向右旋转提升到A结点的位置，将C的右子树变为A的左子树

调整过后需要满足：BL<B<CL<C<CR<A<AR
【例1】

如上图所示，插入结点 57之后发生了不平衡，

最小不平衡子树为整颗树，发生不平衡的位置是 66 结点的左孩子 50 的右子树，因此需要执行LR平衡操作，针对 50 的右结点 60 先左旋，60 替代 50，50成为 60 的左孩子，原本可以60的左子树成为 50 的右子树

接下来右旋，60 代替 66 ，将 60 的右孩子变为66的左孩子

［例2］

最小不平衡子树如虚线框所示，发生在75这一结点，原因是75的左孩子38插入了右结点，因此执行LR旋转，找到 75 左孩子38的第一个右孩子 51，先左旋，51 提换 38，51没有子树不用为子树重新定位，然后 51 再右旋，51 替换 75，75 成为51的右孩子

RL平衡旋转

当在某个结点的右孩子的左子树插入了结点，需要进行RL平衡旋转，先向右旋再向左旋

先将A结点的右孩子B的左子树的根结点C向右旋转提升到B结点的位置，将C的右子树变为B的左子树；

然后再把C结点左旋提升到A结点的位置，将C的左子树变为A的右子树；

调整过后需要满足：AL<A<CL<C<CR<B<BR
【例】

插入结点 63 后，最小不平衡树仍然是整颗树，不平衡情况发生在50的右孩子的左子树，因此需要执行RL平衡旋转

先对结点 66 先进行右旋，66 替换 68，66的右孩子 67 成为 68 的左孩子；
然后对 66 左旋，66 替换 50，66 的左孩子成为 50 的右孩子；
熟练之后可以一步到位，如上图所示，66 的左子树直接给 50，右孩子直接给68, 66 往上提

为什么要按“最小不平衡子树”进行调整?

插入操作导致某个子树高度+1，当调整这个不平衡子树后，高度恢复为原来的高度后，重新恢复到平衡，其它祖先结点也自然恢复到了平衡

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