数据结构：AVL树的平衡调整—

AVL树的全称是平衡搜索二叉树，本质上也是一个二叉搜索树（BST），满足BST树的所有性质。

但是我们在使用二叉搜索树的时候，我们知道通常情况在BST中搜索一个节点的时间复杂度是O(lgn)。

最坏的情况为O(n)，这种情况就是出现连续的左子树/右子树，如下图所示：

这种情况其实就已经是链式存储，无法将树的优势体现出来。

为了避免这种情况，我们就要保证这个树随时都是平衡的。当然要求不能那么严格，不需要保证它完全平衡（每个节点的左右子树高度差的绝对值都为0），AVL树就要求的是只要每个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1，就可以称作平衡。

我们将“每个节点的左右子树的高度差的绝对值”叫做平衡因子(BF)。

在AVL树中，插入一个节点之后都会判断是否打破了这个平衡。如果打破了，就需要对树进行调整，让它仍然满足平衡的定义，并且不改变中序遍历的正确性。这步操作就叫做旋转。即，是否需要旋转以及具体的旋转实现都要包含在插入函数里。

根据插入的位置不同，旋转的类型也分为4种：LL，LR，RL，RR。

旋转的几种情况：
1.插入点位于x的左孩子的左子树中。  左左LL  右旋。
2.插入点位于x的左孩子的右子树中。  左右LR    较低的先左旋，转换为LL问题，再右旋。
3.插入点位于x的右孩子的左子树中。  右左RL    较低的先右旋，转化为RR问题。再左旋。
4.插入点威武x的右孩子的右子树中。  右右RR    左旋。

接下来我们就用几个简单的例子，来分析旋转操作。

先给出AVL树的定义。

typedef struct AVLTree
{int height;                //当前节点的高度。int data;struct AVLTree* lchild;struct AVLTree* rchild;
}Tree,*pTree

LL & RR

如图所示。

原本的状态是左边图所示，中序遍历为2，3.此时平衡因子分别为1，0.

在插入了一个节点之后（此时我们还没有写带调整的插入函数，可以理解为使用BST树的插入函数），我们可以看到这就成了我们最不想看见的情况——变成了链式存储。此时，我们就需要进行调整了。

情况：导致失衡的节点(1)是节点node(3)的左子树的左孩子，即为LL情况。

具体算法如下：

1.对于节点node（值为3的节点），先取它的左孩子（值为2的节点）作为临时节点temp；

2.将temp的右孩子作为node的左孩子；

3.再将node作为temp的右孩子；

4.更新height

5.node = temp。此时，temp就成为了原来node一样的存在。

下图是调整后的二叉树：

可以看到，此时还是一个BST树且中序遍历的顺序也没有发生改变，还满足了AVL的要求。

具体代码实现：

前置函数：

int GetHeight(pTree tree)            //获取当前节点的高度。
{if(tree == nullptr) return 0;return tree->height;
}bool IsBalanced(pTree tree)            //判断是否平衡。
{int BF = GetHeight(tree->lchild) - GetHeight(tree->rchild);return abs(BF) < 2;
}

LL型旋转函数：

pTree Rotate_LL(pTree tree)
{pTree temp = tree->lchild;tree->lchild = temp->rchild;temp->rchild = tree;//更新高度,先更新node再更新temp。tree->height = max(GetHeight(tree->lchild),GetHeight(tree->rchild))+1;temp->height = max(GetHeight(temp->lchild),GetHeight(temp->rchild))+1;return temp;
}

RR型由于和LL型是对称的，所以只需要将LL中的所有左右互换就可以了。

pTree Rotate_RR(pTree tree)
{pTree temp = tree->rchild;tree->rchild = temp->lchild;temp->lchild = tree;//更新高度,先更新node再更新temp。tree->height = max(GetHeight(tree->lchild),GetHeight(tree->rchild))+1;temp->height = max(GetHeight(temp->lchild),GetHeight(temp->rchild))+1;return temp;
}

LR & RL

接下来分析LR型：

即，引起失衡的是node节点的左子树的右孩子。即如下图的情况：

在节点值为4的节点插入5，是4的右孩子。此时已经失衡。即为LR问题。

LR具体算法：

1.先获取node（值为10的节点）的左孩子节点，记为temp。

2.对temp进行RR。

3.对node进行LL。

代码实现：

pTree Rotate_LR(pTree tree)
{pTree temp = tree->lchild;tree->lchild = Rotate_RR(temp);return Rotate_LL(tree);
}

由于RL和LR是对称的，同样只需将所有的R换成L即可。此处不再赘述。

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