极限环非线性系统的描述函数法

严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统。本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法：相平面法和描述函数法。;知 识 要 点;7.1 非线性系统概述 控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节时，此系统则为非线性系统。7.1.1 非线性系统的特点;7.1.2非线性系统的分析和设计方法 非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统一的求解方法，其理论也还不完善。由于非线性系统的特点，线性系统的分析方法均不能采用。分析非线性系统工程上常采用的方法有：1．线性化近似法 对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研究平衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线性系统近似线性化。;2．分段线性近似法 将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对应的线性化微分方程描述。3．相平面法 相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件下系统的运动形式。该方法只适用最高为二阶的系统。;5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所以非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。;7.2 典型非线性特性 按非线性环节特性的形状可以将非线性环节划分为死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性等。;死区特性对系统性能的影响：(1)由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了系统的控制精度；(2)若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰能力。2．饱和特性;饱和特性对系统性能的影响：(1)将使系统的开环增益有所降低，对系统的稳定性有利；(2)使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。 有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其特性也属饱和特性。 ;3．间隙特性(回环特性);4．继电器特性;(1)理想继电器特性;(3)回环继电器特性 ;7.3 相平面分析法 相平面法是庞加莱(Poincare)提出的，它是一种求解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初始状态和输入信号下系统的运动形式。虽然相平面法适用一阶、二阶非线性控制系统的分析，但它形成特定的相平面法，它对弄清高阶非线性系统的稳定性、极限环等特殊现象，也起到了直观形象的作用。 ;7.3.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为：;1.相平面，相点和相轨迹;2.相轨迹方程和平衡点;一般形式为;相轨迹的性质：; 此时两个状态变量对时间的变化率都为零，系统的状态不再发生变化，即系统到达了平衡状态，相应的状态点(相点)称为系统的平衡点。平衡点处有的斜率;则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜率不确定的点在数学上也称为奇点，故平衡点即为奇点。 奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。;7.3.2 线性系统的相轨迹 线性二阶系统微分方程为:;系统的奇点(平衡点)满足;1、无阻尼运动(?=0) 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为 ; 初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。 ;2、欠阻尼运动(0???1) 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为

式中,A、B、?为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。 ;可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点(奇点)，不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。; 3、过阻尼运动(?＞1) 系统特征根为两负实根,已知系统零输入解的表达式为

式中,A1,A2——初始条件决定的常数；?1,?2——特征根; 不同初始条件下系统的响应曲线如图所示。相轨迹是一族汇聚到原点的抛物线，单调地趋于平衡点(奇点)—坐标原点，如图所示。这种奇点称为稳定节点。;4、负阻尼运动(?<0)(系统不稳定，根据极点位置分三种情况分别讨论);(2) ? ＜-1时，特征根是两个正实根，响应为单调发散，相轨迹是一族从原点出发向外单调发散的抛物线，如图所示。奇点为坐标原点，称为不稳定节点。;(3)对图所示的正反馈二阶系统;特殊情况：;特征根为一对符号相反的实根，响应依然单调发散的，相轨迹