牛客小白月赛6 洋灰三角（详解）

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来源：牛客网

洋灰三角

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64bit IO Format: %lld

题目描述

洋灰是一种建筑材料，常用来筑桥搭建高层建筑，又称，水泥、混凝土。

WHZ有很多铸造成三角形的洋灰块，他想把这些洋灰三角按照一定的规律放到摆成一排的n个格子里，其中第i个格子放入的洋灰三角数量是前一个格子的k倍再多p个，特殊地，第一个格子里放1个。
WHZ想知道把这n个格子铺满需要多少洋灰三角。

输入描述:

第一行有3个正整数n，k，p。

输出描述:

输出一行，一个正整数，表示按照要求铺满n个格子需要多少洋灰三角，由于输出数据过大，你只需要输出答案模1000000007(1e9+7)后的结果即可。

示例1

输入

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3 1 1

输出

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说明

洋灰三角铺法：1 2 3，总计6个

示例2

输入

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3 2 2

输出

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说明

洋灰三角铺法：1 4 10，总计15个

示例3

输入

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3 3 3

输出

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说明

洋灰三角铺法：1 6 21，总计28个

备注:

对于100%的测试数据：
1 ≤ n ≤ 1000000000
1 ≤ k,p ≤ 1000

大致思路：

首先，我们很容易得到这两个表达式：sum(n)=sum(n-1)+a(n)，a(n)=k*a(n-1)+p。

显然，常规思路求sum(n)，就一定求知道sum(n-1),a(n);

但是，对于大规模的数据，这样操作肯定是不行的。我们要知道另一种更加普遍高效的算法。矩阵快速幂。

比如说我们可以构造一个等比矩阵。使其A[n]=T^(n-1)*A[1], (其中，n>1), 这样，我们仅仅需要知道矩阵T，A[1],就能

很快的求出A[n];

现在，我们来尝试构造这个矩阵A，以及公比矩阵T：

因 sum(n) = sum(n-1) + a(n)

又 a(n) = k*a(n-1) + p

则 sum(n) = sum(n-1) + k*a(n-1) + p

由矩阵相乘性质有：

T[0]={1,k,1} (或T[0]={1,k,p}等，只要能构造成功、自圆其说即可)

sum(n-1)

故 A(n-1) = { a(n-1) }

因此

sum(n)

A(n-1) = { a(n) }

于是解得

1 k 1

T= { 0 k 1 }

0 0 1

1     k 1 sum(n-1) sum(n)

0     k 1 × a(n-1) = a(n)

0     0 1 p p

或者

1     k p sum(n-1) sum(n)

0     k p × a(n-1) = a(n)

0     0 1   1    1

ac代码如下

# include <iostream>
# include <cstring>
# define ll long longusing namespace std;const ll mod = 1e9+7;ll n,k,p;struct matrix
{ll m[5][5];}ans,res;//res为T矩阵，ans为A(n)void init()
{memset(res.m,0,sizeof res.m);//构造T矩阵res.m[1][1]=1;res.m[1][2]=k;res.m[1][3]=1;res.m[2][1]=0;res.m[2][2]=k;res.m[2][3]=1;res.m[3][1]=0;res.m[3][2]=0;res.m[3][3]=1;return ;
}matrix calc(matrix a,matrix b)//矩阵相乘
{matrix tmp;for(int i=1;i<=3;i++)for(int j=1;j<=3;j++)tmp.m[i][j]=0;for(int i=1;i<=3;i++)for(int j=1;j<=3;j++)for(int k=1;k<=3;k++){tmp.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];tmp.m[i][j]%=mod;}return tmp;
}void quick_pow(int n)//矩阵快速幂
{for(int i=1;i<=3;i++)//单位矩阵for(int j=1;j<=3;j++){if(i==j)ans.m[i][j]=1;elseans.m[i][j]=0;}while(n){if(n&1) ans=calc(ans,res);res=calc(res,res);n>>=1;}
}int main()
{cin>>n>>k>>p;ll sum=0;if(n==2){sum+=k+p+1;sum%=mod;cout<<sum<<endl;return 0;}if(n==1){cout<<"1"<<endl;return 0;}init();quick_pow(n-1);sum+=(ans.m[1][1]+ans.m[1][2]+ans.m[1][3]*p)%mod;cout<<sum<<endl;return 0;
}