排序算法-归并排序的时间复杂度分析

归并排序，其实就是递归+合并。

归并排序将数组取中间分为两部分，两个子数组分别各自再从中间分为两个子数组，一直分下去直到不能再分。分完之后，再按照子数组大小合并为为一个有序数组，然后层层向上合并，直到合并为一个有序的数组。

文字描述不理解的话，使用一副图来解释下：

其实归并排序的思想很简单，图中也描述的很清楚。

归并排序的时间复杂度为O(nlogn),跟冒泡、选择、插入这三种排序O(n^2)的时间复杂度不同，要有效率很多。

我们把代码呈上：

 /*** 归并排序* @param arr* @param n*/public static void mergeSort(int[] arr,int n){mergeSort(arr,0,n-1);}/*** 递归程序* @param arr* @param p* @param r**/public static void mergeSort(int[] arr,int p,int r){if(p>=r){return;}int q = (p+r)/2;mergeSort(arr,p,q);mergeSort(arr,q+1,r);//合并merge(arr,p,q,r);}/*** 合并* @param arr* @param p* @param q* @param r*/public static void merge(int[] arr,int p,int q,int r){int i =p,j=q+1,k=0;int[] temp = new int[r-p+1];while(i<=q && j<=r){//当两个区间中元素相等的时候，取arr(p,q)得加入temp，可以做到归并算法的稳定性if(arr[i] <= arr[j]){temp[k++]=arr[i++];}else{temp[k++]=arr[j++];}}//判断arr(p,q)和arr(q+1,r)哪个有剩余的数据int start=i,end=q;if(j<=r){start=j;end=r;}//将剩余数据拷贝到临时数组temp中while(start <= end){temp[k++]=arr[start++];}//将temp中的数据拷贝回arr(p,r)数组中for (int l = 0; l <= r-p; l++) {arr[p+l]=temp[l];}}

归并排序使用的是分治思想，分治思想简单说就是分而治之，将一个大问题分解为小问题，将小问题解答后合并为大问题的答案。乍一看跟递归思想很像，确实如此，分治思想一般就是使用递归来实现的。

需要说明的是，递归是代码实现，分治思想是解决问题的方法论，属于理论层面的。

其实mergeSort这个函数就是使用递归层层分解问题的。可以看到将数组的大区间[p,r]从中间分开，分成两个小区间[p,q]和[q+1,r]

/*** 递归程序* @param arr* @param p* @param r**/public static void mergeSort(int[] arr,int p,int r){if(p>=r){return;}int q = (p+r)/2;mergeSort(arr,p,q);mergeSort(arr,q+1,r);//合并merge(arr,p,q,r);}

层层分解，直到满足递归终止条件：p>=r,就说明分到最后1个不能再分了。既然无法再分，那接着就进行合并了。看起来merge函数写的很复杂，其实如果理解了思想就非常容易理解了，千万不能被吓到。一切反动派都是纸老虎！

归并排序是原地排序算法吗？

不是原地算法，归并排序在合并函数中使用到了temp临时数组用来存放[p,r]区间元素，这个临时存储空间在merge函数结束后就释放了，所以归并排序的空间复杂度保持在O(n).

归并排序是稳定排序算法吗？

归并排序到底是不是稳定排序算法，关键在合并的时候，合并的时候可以选择对两个区间中相等的元素，取[p,q]的元素先放入temp数组中，保证了等值元素合并前后的存放顺序。所以归并排序是稳定排序算法。

归并排序算法的时间复杂度是多少？

假如n个元素使用归并排序的时间复杂度为T(n),那么由于归并排序使用的是分治思想，T(n)=2*T(n/2)+n,其中n就是两个子区间合并的时间复杂度，这个从合并函数可以看出来。可以推导出以下公式：

T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1

经过进一步推导，可以得到T(n)=2^k * T(n/2^k) + k * n,我们假设T(1)=T(n/2^k),也就是说当n/2^k个元素的进行归并排序，达到递归终止条件时，n/2^k=1,得到：k=logn

于是：

T(n)=Cn+nlog2n

归并排序的时间复杂度就是O(nlogn),跟数组的有序度其实并没有什么关系，是非常稳定的时间复杂度。