2022年12月1日

知识点：求极限（1的无穷次方型）

答案：
原式 = lim ⁡ x → 0 ( ( 1 + x ) 1 x e ) 1 x = lim ⁡ x → 0 e 1 x l n ( ( 1 + x ) 1 x e − 1 + 1 ) = lim ⁡ x → 0 e 1 x ( ( 1 + x ) 1 x − e e ) = lim ⁡ x → 0 e ( ( 1 + x ) 1 x − e e x ) = lim ⁡ x → 0 e ( e 1 x l n ( 1 + x ) − e e x ) = lim ⁡ x → 0 e ( ( l n ( 1 + x ) x − 1 ) e ε e x ) = lim ⁡ x → 0 e ( ( l n ( 1 + x ) − x x ) e ε e x ) = lim ⁡ x → 0 e 1 e ( ( l n ( 1 + x ) − x x ) e ε x ) = lim ⁡ x → 0 e 1 e ( l n ( 1 + x ) − x x 2 ) = e − 1 2 \begin{aligned} 原式&=\lim_{x \to 0} (\frac{(1+x)^{\frac{1}{x} }}{e} )^{\frac{1}{x} } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x}ln(\frac{(1+x)^{\frac{1}{x} }}{e}-1+1) } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x}(\frac{(1+x)^{\frac{1}{x} }-e}{e} ) } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{(\frac{(1+x)^{\frac{1}{x} }-e}{ex} ) } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{(\frac{e^{\frac{1}{x}ln(1+x) }-e}{ex} ) } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{(\frac{(\frac{ln(1+x)}{x}-1)e^\varepsilon }{ex} ) } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{(\frac{(\frac{ln(1+x)-x}{x})e^\varepsilon }{ex} ) } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{e} (\frac{(\frac{ln(1+x)-x}{x})e^\varepsilon }{x} ) } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{e} (\frac{ln(1+x)-x }{x^2} ) } \\ &=e^{-\frac{1}{2} } \end{aligned} 原式=x→0lim(e(1+x)x1)x1=x→0limex1ln(e(1+x)x1−1+1)=x→0limex1(e(1+x)x1−e)=x→0lime(ex(1+x)x1−e)=x→0lime(exex1ln(1+x)−e)=x→0lime(ex(xln(1+x)−1)eε)=x→0lime(ex(xln(1+x)−x)eε)=x→0limee1(x(xln(1+x)−x)eε)=x→0limee1(x2ln(1+x)−x)=e−21

2022年12月2日

知识点：求极限（1的无穷次方型)

答案：
原式 = lim ⁡ x → 0 e 1 x 4 l n ( c o s 2 x + 2 x s i n x ) = lim ⁡ x → 0 e 1 x 4 l n ( c o s 2 x + 2 x s i n x − 1 + 1 ) = lim ⁡ x → 0 e 1 x 4 ( c o s 2 x + 2 x s i n x − 1 ) = lim ⁡ x → 0 e c o s 2 x + 2 x s i n x − 1 x 4 = lim ⁡ x → 0 e 1 − 4 x 2 2 + 16 x 4 24 + 2 x ( x − x 3 6 ) − 1 x 4 = lim ⁡ x → 0 e − 2 x 2 + 2 x 4 3 + 2 x ( x − x 3 6 ) x 4 = lim ⁡ x → 0 e 2 x 4 3 − x 4 3 x 4 = e 1 3 \begin{aligned} 原式&=\lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^4} ln(cos2x+2xsinx)} \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x^4} ln(cos2x+2xsinx-1+1)} \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x^4} (cos2x+2xsinx-1)} \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{cos2x+2xsinx-1}{x^4} } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{1-\frac{4x^2}{2}+\frac{16x^4}{24} +2x(x-\frac{x^3}{6} )-1}{x^4} } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{-2x^2 +\frac{2x^4}{3} +2x(x-\frac{x^3}{6} )}{x^4} } \\ &=\lim_{x \to 0}e^{\frac{\frac{2x^4}{3}-\frac{x^4}{3} }{x^4} } \\ &=e^{\frac{1}{3} } \end{aligned} 原式=x→0limex41ln(cos2x+2xsinx)=x→0limex41ln(cos2x+2xsinx−1+1)=x→0limex41(cos2x+2xsinx−1)=x→0limex4cos2x+2xsinx−1=x→0limex41−24x2+2416x4+2x(x−6x3)−1=x→0limex4−2x2+32x4+2x(x−6x3)=x→0limex432x4−3x4=e31

2022年12月3日

答案：

原式 = lim ⁡ x → π 4 ( tan ⁡ x ) 1 cos ⁡ x − sin ⁡ x = lim ⁡ x → π 4 e 1 cos ⁡ x − sin ⁡ x ln ⁡ ( tan ⁡ x + 1 − 1 ) = e lim ⁡ x → π 4 tan ⁡ x − 1 cos ⁡ x − sin ⁡ x = e lim ⁡ x → π 4 sin ⁡ x − cos ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x − sin ⁡ x = e lim ⁡ x → π 4 − 1 cos ⁡ x = e − 2 \begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \left( \tan x \right) ^{\frac{1}{\cos x-\sin x}} \\ &=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} e^{\frac{1}{\cos x-\sin x}\ln \left( \tan x+1-1 \right)} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x-1}{\cos x-\sin x}} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}}{\cos x-\sin x}} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} -\frac{1}{\cos x}} \\ &=e^{-\sqrt{2}} \end{aligned} 原式=x→4πlim(tanx)cosx−sinx1=x→4πlimecosx−sinx1ln(tanx+1−1)=elimx→4πcosx−sinxtanx−1=elimx→4πcosx−sinxcosxsinx−cosx=elimx→4π−cosx1=e−2

2022年12月4日

答案：
原式 = lim ⁡ x → 0 ( e x + e 2 x + . . . + e n x − n n + 1 ) 1 x = lim ⁡ x → 0 e 1 x ln ⁡ ( e x + e 2 x + . . . + e n x − n n + 1 ) = lim ⁡ x → 0 e e x + e 2 x + . . . + e n x − n n = lim ⁡ x → 0 e n ( 1 + n ) 2 n = lim ⁡ x → 0 e n ( 1 + n ) 2 n = e 1 + n 2 \begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \left( \frac{e^x+e^{2x}+...+e^{nx}-n}{n}+1 \right) ^{\frac{1}{x}} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{1}{x}\ln \left( \frac{e^x+e^{2x}+...+e^{nx}-n}{n}+1 \right)} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{e^x+e^{2x}+...+e^{nx}-n}{n}} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{\frac{n\left( 1+n \right)}{2}}{n}} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{n\left( 1+n \right)}{2n}} \\ &=e^{\frac{1+n}{2}} \end{aligned} 原式=x→0lim(nex+e2x+...+enx−n+1)x1=x→0limex1ln(nex+e2x+...+enx−n+1)=x→0limenex+e2x+...+enx−n=x→0limen2n(1+n)=x→0lime2nn(1+n)=e21+n

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