数据升维到希尔伯特空间

将数据转换到希尔伯特空间

前言

向量空间：也称线性空间(线性空间对加法和数乘是封闭的，即输出结果仍在该空间内)。该空间集合中对应的元素是向量。二维、三维空间中每个点都可用唯一个向量来表示，因此也是向量空间。

内积空间：定义了加法、数乘和内积(向量之间的乘法)的空间。

希尔伯特空间：在另外一种空间(不是熟悉的欧式空间)中定义了另外一种内积、范数等运算，且这些运算仍是完备的，则该空间称为希尔伯特空间。

步骤

定义一个向量空间。首先构造一个映射ϕ\phiϕ，该映射使得X变为了K(.,x)K( . , x)K(.,x)，为了定义该向量空间，去定义一个线性组合，保证加法和数乘的封闭。

该线性组合为：设xi∈X，ai∈实数R，i=1,...m，f(.)=∑aik(.,xi)，该线性组合的f构成集合S，S即为一个向量空间x_i \in X，a_i \in 实数R，i=1,...m，f(.)=\sum a_i k(.,x_i)，该线性组合的f构成集合S，S即为一个向量空间xi∈X，ai∈实数R，i=1,...m，f(.)=∑aik(.,xi)，该线性组合的f构成集合S，S即为一个向量空间，该空间对加法和数乘都封闭。
在向量空间SSS上定义内积∗*∗，得到内积空间S。该定义为设对任意 f,g∈S，k为对称函数，则f∗g=∑i=1m∑j=1lαiβjk(xi,zj)f, g \in S，k为对称函数，则f*g= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^l \alpha_i \beta_jk(x_i,z_j)f,g∈S，k为对称函数，则f∗g=∑i=1m∑j=1lαiβjk(xi,zj)。
定义内积需满足四个条件，即上式需要满足以下条件：

1.(cf)∗g=c(f∗g)，c∈R1.(cf)*g=c(f*g)，c\in R 1.(cf)∗g=c(f∗g)，c∈R

2.(f+g)∗h=f∗h+g∗h2.(f+g)*h=f*h+g*h 2.(f+g)∗h=f∗h+g∗h

3.f∗g=g∗f3.f*g=g*f 3.f∗g=g∗f

4.f∗f=>0，特别地，f∗f=0等价于f=04.f*f=>0，特别地，f*f=0 等价于f=0 4.f∗f=>0，特别地，f∗f=0等价于f=0
在SSS上定义范数∣∣f∣∣=f∗f||f||=\sqrt {f*f}∣∣f∣∣=f∗f，获得赋范线性空间S。
在泛函中，已经被证明，赋范线性空间可以完备化，因此得到希尔伯特空间S。

Note: 在上述的转化过程中，我们可以明白该希尔伯特空间中的核函数具有再生性，即原始的f(.)=∑i=1mαik(.,xi)f(.)=\sum_{i=1}^m\alpha_ik(. ,x_i)f(.)=∑i=1mαik(.,xi)，(.)f(.)f(.)f里面的 . 就是要输入的量，则可由公式k(.,x)∗f=∑i=1mαik(x,xi)k(.,x)*f=\sum_{i=1}^m\alpha_ik(x ,x_i)k(.,x)∗f=∑i=1mαik(x,xi)展示出该核的再生性，同时由公式k(.,x)∗k(.,z)=k(x,z)=ϕ(x)∗ϕ(z)k(.,x)*k(.,z)=k(x,z)=\phi(x)*\phi(z)k(.,x)∗k(.,z)=k(x,z)=ϕ(x)∗ϕ(z)也可以看出。

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