放苹果———动态规划中的划分数问题

动态规划问题
放苹果是一道典型的DP问题，这道题采用递归+分治+DP的方式解决。

题目描述

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

输入描述

每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

输出描述

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。
实例
输入：7 3
输出：8
思路
首先把问题归纳到动态规划类型上，那么就要考虑状态是如何转移的呢？
我们这里定义函数dp(m,n),其中m代表苹果数目，n代表盘子数目。

当M<N时，这个时候代表苹果数目小于盘子数目，也就意味着多余的N-M的盘子是没有任何所用的（这里举个简单的例子，假如只有一个苹果和三个盘子，那我这个苹果放在哪个盘子上都只算一种，因为盘子是相同的），这时候方法数目就等于dp(M,M)，也就是M个苹果和M个盘子的摆放方法数目。
所以dp(M,N)=dp(M,M)
当M>=N时，这个时候代表苹果数量要大于盘子数目，这个时候就要分情况：
①当每个盘子放苹果的数目都减少一，和现在情况是一样的，
即dp（M-N,N）.
②这么多苹果对应的盘子数目减一，对应的就是dp(M,M);
那么dp（M,N）=dp(M-N,N)+dp(M,N-1)
这里运用到了分治的思想
接下来就是考虑递归的出口条件了。
①对于盘子数量为1的情况，显然摆放数量也只有一种。
②对于苹果数量等于0的情况。也要返回1，这里举个最简单的例子，假如有两个苹果和两个盘子，按照上述2.的思路，那么就要返回dp(0,2)+dp(2,1)，对应的就是两个苹果放在两个盘子和两个盘子上都没有情况数目均为1，而一个盘子上放两个苹果答案也是1.
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int  dp(int m,int n){if(n==1)    return 1;if(m==0)    return 1;if(m>=n)    return dp(m,n-1)+dp(m-n,n);else    return dp(m,m);
}
int main(){int m,n;while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){printf("%d\n",dp(m,n));}return 0;
}

这里代码量很少，在上面也讲述很清楚了，所以就不加注释了。
从这道题可以看出，递归、分治、动态这三个大杀器经常是同时使用的，同时他们也是算法中复杂的地方，需要经常练习，积累经验，而不是简单知道三个方法是怎么用就完了。

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