【最长回文子串】Manacher算法详解

写在前面

manacher算法解决最长回文子串以及变形问题的时间复杂度为O(n)。

如果你想囫囵吞枣，只需要使用到该算法，你可以直接把代码拿走；但如果你想深入了解这个算法的工作原理和关键部分解读，还是希望你能静下心来，拿出一张纸，一根笔，来好好揣摩算法背后的魅力，算法解读部分内容来自《来自于程序员代码面试指南：IT名企算法与数据结构题目最优解》，理解起来的确有点冗杂和费力。(以下来自网友真实案例)

Python代码（Leetcode 5为例）

class Solution:def manacherString(self,s):charArr = list(s)res = []index = 0for i in range(0, len(charArr) * 2 + 1):if (i & 1) == 0:res.append("#")else:res.append(charArr[index])index += 1return resdef longestPalindrome(self, s):""":type s: str:rtype: str"""# if s is None or len(s) == 0:#     return NonecharArr = self.manacherString(s)pArr = []index = -1pR = -1max_value =  -11111# maxContainsEnd = -1for i in range(0,len(charArr)):if pR > i:pArr.append(min(pArr[2*index -i],pR-i))else:pArr.append(1)while i + pArr[i] < len(charArr) and i - pArr[i] > -1:if charArr[i + pArr[i]] == charArr[i - pArr[i]]:pArr[i] += 1else:breakif i + pArr[i] > pR:pR = i + pArr[i]index = imax_value = max(max_value, pArr[i])result1 = pArr.index(max_value)result2 = charArr[result1-max_value+1:result1+ max_value]for i in range(0,len(result2),2):result2.remove('#')result2 = ''.join(result2)return result2

#leetcode Test 最快的答案
class Solution:def longestPalindrome(self, s):""":type s: str:rtype: str"""if len(s) < 2 or s == s[::-1]:return smax_len = 1start = 0for i in range(1,len(s)):even = s[i - max_len : i + 1]odd = s[i - max_len - 1 : i + 1]if i - max_len - 1 >= 0 and odd == odd[::-1]:start = i - max_len - 1max_len += 2continueif i - max_len >= 0 and even == even[::-1]:start = i - max_lenmax_len +=  1return s[start : start + max_len]

Manacher算法详解

该算法是由Glenn Manacher于1975年首次发明的，Manacher算法解决的我呢提是在线性时间内找到一个字符串的最长回文子串，比起能够解决该问题的其他算法，Manacher算法算比较好理解和实现的。

数据处理与“扩”

以一般的思维，从左到右遍历字符串，遍历到每个字符的时候，都要看以这个字符作为中心能够产生多大的回文字符串。如str="abacaba"，最长回文子串是以str[3]='c'为中心时，最大长度的7，以str[0]='a'为中心，回文子串长度为1，以str[1]='b'为中心，回文子串长度为3。这种是有中心的，但是如str=“abba”，最长回文子串长度为4，但中心并不在某个元素上，而是一个“虚轴”，在两个'b'之间。这是就出现第一个问题，当最长回文长度是偶数时，我们无法找到这个回文，因为它没有确切的中心。同时这种方法存在第二个问题，之前遍历过的字符完全无法指导后面遍历的过程，也就是对每个字符来说都是从自己的位置出发，往左右两个方向扩出去检查。这样，对每个字符来说，往外扩对的代价都是一个级别的。举一个极端的例子“aaaaaaaaaaaaaa”，对每一个'a'来讲，都是扩到边界才停止。所以每一个字符扩出去检查的代价都是O(n)，所以总的时间复杂度O(n²)。Manacher算法可以做到O(n)的时间复杂度，精髓是之前字符的“扩”过程，可以指导后面字符的“扩”过程，使得每次的“扩”过程不都是从无开始。以下是Manacher算法解决原问题的过程：

1.数据处理

因为奇回文和偶回文在判断时比较麻烦，所以对str进行处理，把每个字符开头、结尾和中间插入一个特殊字符’#‘来得到一个新的字符串数组。比如str=”bcbaa“，处理后为"#b#c#b#a#a#"，对于元素为偶数个的字符串同样处理，也可以得到奇数个的字符串，(原理：以下图为例，奇+偶=奇)，经过数据处理，得到的字符串都是奇数位的，解决了字符串长度差异问题，同时‘#’的加入并不影响原始数据的回文序列

然后从每个字符左右扩出去的方式找最大回文子串就方便多了。对于奇回文来说，不这么处理也能通过扩的方式找到，比如"bcb"，从'c'开始向左右两侧扩出去能找到最大回文。处理后为"#b#c#b#"，从'c'开始向左右两侧扩出去依然能找到最大回文。对偶回文来说，不处理而直接通过扩的形式是找不到的，比如"aa"，因为没有确定的中心，但是处理后'#a#a#'，就可以通过从中间的‘#’扩出去的方式找到最大回文。所以通过这样的处理方式，最大回文子串无论是偶回文还是奇回文，都可以通过统一的“扩”过程找到，解决了差异性的问题。同时要说的是，这个特殊字符是什么无所谓，甚至可以是字符串中出现的字符，不会影响最终的结果，就是一个纯辅助的作用。

2.辅助变量

假设str处理之的字符串记为charArr。对每个字符(包括特殊字符)都进行“优化后”的扩过程。解释以下三个辅助变量的意义：

数组p。长度与charArr长度一样。p[i]的意义是以i位置上的字符(charArr[i])作为回文中心的情况下，扩出去得到的最大回文半径是多少，设只有自身时的回文半径为1，举个例子说明，对"#c#a#b#a#c#"来说，p[0...10]为[1,2,1,2,1,6,1,2,1,2,1]。整个过程就是在从左到右遍历的过程中，依次计算每个位置的最大回文半径值。

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
charArr[i]	#	c	#	a	#	b	#	a	#	c	#
p[i]	1	2	1	2	1	6	1	2	1	2	1

整数pR。这个变量的意义是之前遍历的所有字符的所有回文半径中，最右即将到达的位置(将到未到的位置，以上面charArr[1]='c'为例，pR为3)。还是以"#c#a#b#a#c#"为例，还没有遍历之前，pR初始设置为-1，charArr[0]='#'的回文半径为1，所以目前回文半径向右只能扩到位置0，回文半径最右即将到达的位置变成了1(pR=1)。charArr[1]='#'的回文半径为2，此时所有的回文半径向右能扩到位置2，所以回文半径最右即将到达的位置变为3(pR=3)。charArr[2]== '#'的回文半径为1,所以位置2向右只能扩到位置2，回文半径最右即将到达的位置不变，仍是3(pR=3)。chaArr[3]='a'的回文半径为2，所以位置3向右能扩到位置4，所以回文半径最右即将到达的位置变为5(pR=5)。charArr[4]='#'的回文半径为1,所以位置4向右只能扩到位置4，回文半径最右即将到达的位置不变仍是5(pR=5)。 charArr[5]= 'b'的回文半径为6，所以位置4向右能扩到位置10,回文半径最右即将到达的位置变为11(pR=11)。此时已经到达整个字符数组的结尾，所以之后的过程中pR将不再变化。换句话说，pR 就是遍历过的所有字符中向右扩出来的最大右边界。只要右边界更往右，pR就更新。

整数index。这个变量表示最近一次pR更新时，那个回文中心的位置。以刚刚的例子来说，遍历到charArr[0]时pR更新，index就更新为0.遍历到charArr[1]时pR更新，index就更新为1，......，遍历到charArr[5]时pR更新，index就更新为5。之后的过程中，pR将不再更新，所以index将一直是5。

3.“扩”

只要能够从左到右依次算出数组p每个位置的值，最大的那个值实际上就是处理后的charArr中最大的回文半径，根据更大的回文半径，再对应回原字符串的话，整个问题就解决了。第三步就是从左到右依次计算出p数组每个位置的值的过程。

1）假设现在计算到位置i的字符charArr[i]，在i之前位置的计算过程中，都会不断地更新pR和index的值，即位置i之前的index这个回文中心扩出了一个目前最右的回文边界pR；

2）如果pR-1位置没有包住当前i位置。比如"#c#a#b#a#c#"，计算到charArr[0]='#'时，pR为1。也就是说，右边界在1位置，1位置为最右回文半径即将到达但还没有到达的位置，所以当前的pR-1位置没有包住当前i位置。此时和普通做法一样，从i位置字符开始，向左右两侧扩出去检查，此时的“扩”过程没有获得“加速”("加速"的含义第3)点中会详细讲解)；

3）如果pR-1位置包住了当前的i位置。比如“#c#a#b#a#c#”，计算到charArr[6...10]时，pR都是11，此时pR-1包住了位置6~10.这种情况下，检查过程是可以获得优化的（即加速），这也是manacher算法的核心内容。

在上图中，位置i是要计算回文半径(p[i])的位置。pR-1位置此时是包住位置i的。同时根据index的定义，index是pR更新时那个回文中心的位置，所以如果pR-1位置以index为中心对称，即pR'，那么从pR'位置到pR-1位置一定是以index为中心的回文串，既然回文半径数组p是从左到右计算的，所以位置i之前的所有位置都已经算过回文半径。假设位置i以index为中心向左对称过去的位置为i'，那么i'的回文半径也是计算过的。那么以i'为中心的最大回文串大小(p[i'])必然只有三种情况，我们依次分析以下。

情况一：i'R'和i'R完全在pR'和pR内部(i'R'和i'R分别是以i'为中心时最大回文串的左边界和右边界)。即以i'为中心的最大回文串完全在以index为中心的最大回文串的内部，如下图所示。

令a'是i'R'位置的前一个字符，b'是i'R位置的后一个字符，b是b'以index为中心的对称字符，a是a'以index为中心的对称字符。iR是i'R'以index为中心的对称位置，iR'是i'R以index为中心的对称位置。如果处在情况一下，那么以位置i为中心的最大回文串可以直接确定，那么就是iR'到iR这一段。原因是，首先，i'R'到i'R这一段如果以index为回文中心，对应过去就是iR'到iR这一段，那么iR'到iR这一段完全是i'R'到i'R这一段的逆序。同时有i'R'到i'R这一段是回文串(以i'为回文中心)，所以iR'到iR这一段一定也是回文串，也就是说，以位置i为中心的最大回文串起码是iR'到iR这一段。另外，以位置i'为中心的最大回文串只是i'R'到i'R这一段，说明a'!=b'，那么必然有a!=b，说明以位置i为中心的最大回文串就是iR’到iR这一段，而不会扩的更大。(p[i']表示以i'为中心的最长回文半径，利用其可以加快后面的查找，这就是“加速”)

情况二：i'R在pR'和pR的内部，而i'R'在pR'的左侧，即外部，如下图所示。

令a'是pR'位置的前一个字符，b'是i'pR'位置的后一个字符，b是b'以index为中心的对称字符，c是a'以index为中心的对称字符。iR是i'R'以index为中心的对称位置，iR'是i'R以index为中心的对称位置，i'pR'是pR'以i'为中心的对称位置，ipR是pR以i为中心的对称位置。如果处在情况二下，那么以位置i为中心的最大回文串可以直接确定，就是ipR到pR这一段。原因是，首先，pR'到i'pR'这一段和ipR到pR这一段是关于index对称的，所以ipR到pR这一段是pR'到i'pR'这一段的逆序。同时，i'R'到i'R这一段是回文串(以i'为中心)，那么pR'到i'pR'这一段也是回文串，所以pR'到i'pR'这一段的逆序也是回文串，所以ipR到pR这一段一定是回文串。也就是说，以位置i为中心的最大回文串起码是ipR到pR这一段。另外，i'R'到i'R这一段是回文串，说明a'=b'，b'和b关于index对称，说明b==c，pR'到pR这一段没有扩更大，说明a'!=c，所以b!=c。说明以位置i为中心的最大回文串就是ipR到pR这一段，而不会扩的更大。

情况三：i'R'和pR'在同一位置，即以i'为中心的最大回文串压在了以index为中心的最大回文串的边界上，如下图所示。

i'R'和pR'的位置重叠，iR'是i'R位置以index为中心的对称位置，ipR是pR

位置以i为中心的对称位置，可以很容易的证明iR'和ipR位置也重叠。如果处在情况三下，那么以位置i为中心的最大回文串起码是ipR到pR这一段，但可能会扩的更大。因为ipR到pR这一段是i'R'和i'R这一段以index为中心对称过去的，所以两段互为逆序关系，同时i'R'到i'R这一段又是回文串，所以ipR到pR这一段一i的那个是回文串，但以位置i为中心的最大回文串是可能扩的更大的，pR的下一个元素是未知的，有可能ipR的前一个元素一样的，此时会发生扩更大的情况。以位置i为中心的最大回文串起码是ipR到pR这一段，但可以扩更大。说明在情况三下，扩出去的过程可以得到优化，但还是无法避免扩出去的检查。

结果处理与复杂度证明

1.结果处理

按照上面的操作从左到右计算出p数组，计算完成后再遍历一遍p数组，找出最大的回文半径，假设位置i的回文半径最大，即p[i]==max。但max只是charArr数组的最大回文半径，还得对应回原来的字符串，求出最大回文半径的长度(其实就是max-1)。比如原字符串为“121”，处理成charArr之后为“#1#2#1#”。在charArr中位置3的回文半径最大，最大值为4(即p[3]=4)，对应原字符串的最大回文子串长度为4-1=3。

2.算法时间复杂度为O(n)的证明

虽然我们可以很明显地看到Manacher算法与普通方法相比，在扩出去检查这一行为上有明显的优化，但如何证明该算法地时间复杂度就是O(n)呢？关键之处在于估算扩出去检查这一行为发生的数量。原字符串在处理后地长度由n变成了2n，从算法地主要逻辑来看，要么在计算一个位置地回文半径时完全不需要扩出去检查，比如，算法步骤中介绍的三种情况，都可以直接获得位置i的回文半径长度；要么每一扩出去检查都会导致pR变量的更新，比如上面步骤中的情况2和情况3，扩出去检查时都让回文半径到达更右的位置，当然会使pR更新。然而pR最多是从-1增加到2n(右边界)，并且从来不减小，所以扩出去检查的次数就是O(n)的级别。所以Manacher算法时间复杂度是O(n)。

进阶问题

在字符串的最后添加最少字符，使得整个字符串都成为回文串，其实就是查找在必须包含最后一个字符的情况下，最长的回文子串是什么。那么之前不是最长回文子串的部分逆序过来，就是应该添加的部分。比如“abcd123321”，在必须包含最后一个字符的情况下，最长的回文子串是“123321”，之前不是最长回文子串的部分是“abcd”，所以末尾应该添加的部分就是“dcba”，那么只要把manacher算法稍作修改就可以。具体改成：从左到右计算回文半径时，关注回文半径最右即将到达的位置(pR)，一旦发现已经到达最后(pR==charArr.length)，说明必须包含最后一个字符的最长回文半径已经找到，直接退出检查过程，返回该添加的字符串即可。