矩阵特征值和椭圆长短轴的关系？

https://www.zhihu.com/question/47033644

前段时间在看MIT的线性代数的公开课，这里以二维空间为例，简单说一下。

二维空间中椭圆最基本的形式是：
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
很显然椭圆的两轴为别是 $x$ 轴及 $y$ 轴，轴长分别是2a以及2b。
上面这个方程写成矩阵的形式是这样子的：
$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]^T \left[ \begin{array}{cc} 1/a^2 & 0 \\ 0 & 1/b^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =x^TAx=1$
$A$ 的特征值为：
$\lambda_1=1/a^2$ ， $\lambda_2=1/b^2$ ；
$A$ 的归一化特征向量为：
$\mu_1= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ $\mu_2= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$ 。
椭圆的长短轴分别沿着矩阵 $\mathbf{A}$ 的两个特征向量的方向，而两个与之对应的特征值分别是半长轴和半短轴的长度的平方的倒数。

更一般一点的例子：
$ax^2+2bxy+cy^2=1$
化成矩阵形式是：
$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]^T \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =x^TAx=1$
（这里要求矩阵 $A$ 是正定矩阵）
举个例子说明：
$5x^2+8xy+5y^2=1$
$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]^T \left[ \begin{array}{cc} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =x^TAx=1$
$A$ 的特征值为：
$\lambda_1=1$ ， $\lambda_2=9$ ;
$A$ 的归一化特征向量为：
$\mu_1= \left[ \begin{array}{c} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \end{array} \right]$ $\mu_2= \left[ \begin{array}{c} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right]$ 。
于是可以将 $A$ 正交分解：
$A=Q \Lambda Q^{-1}=Q \Lambda Q^{T}= \left[ \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right]$
因此
$\begin{equation} \begin{split} P(f)=& x^{T}Ax=x^{T}Q \Lambda Q^{T}x \\=& \left( Q^{T}x\right)^{T} \Lambda \left( Q^{T}x\right) \\=&1 \left( \frac{x-y}{\sqrt{2}} \right)^{2} +9 \left( \frac{x+y}{\sqrt{2}} \right)^{2} \end{split} \end{equation}$
于是可以看出，椭圆的轴向沿着 $A$ 的特征向量，半轴长是 $A$ 的特征值倒数的开方。

更一般以及更高维同理。

作者：Eathen
链接：https://www.zhihu.com/question/47033644/answer/112864757
来源：知乎
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