统计学笔记——统计基础（协方差，相关系数，决定系数）

好久没看统计书了，又要还给老师了。

来更新一点内容，主要是想复习复习。

协方差：协方差定义为

也可记为两个变量距平向量的内积，即为

。

协方差反映两个气象要素异常关系的平均状况。例如， $X_{k}$ 如果代表前冬某一个月的平均温度； $X_{l}$ 代表后冬某一个月的平均温度，当前冬温度出现负距平时，后冬就出现正距平；反之，前冬出现正距平时，后冬就出现负距平；这时他们各年距平的乘积必然是一个很大的负数。这个负号表示了“前冬冷，后冬暖”的关系状况，表征一个相反变化的关系。如果相反，对于“前冬暖，后冬亦暖”的情况，两个序列距平乘积为正值。因而，协方差表征了两个变量变化的正、负相互关系。

变量自身对自身的协方差就是该变量的方差。

相关系数：相关系数是协方差的标准化处理。

协方差是带单位的一个统计量，在比较不同要素时常常带来不便。若对原变量做标准化处理，再计算协方差，此时的协方差不带单位，便于比较，称为相关系数。

对于两个要素变量 $X_{k}$ 和 $X_{l}$ , 其相关系数计算公式为

如用标准化向量表示，有

相关系数绝对值变化在0到1之间，即0≤|r|≤1。

参考文献：黄嘉佑，气象统计分析与预报方法（第四版）P21

$R^{2}$ 决定系数（解释方差）:相关系数的平方

离差平方和: ,反映因变量的离散程度

回归平方和:

残差平方和:

离差平方和=回归平方和+残差平方和：

该式说明因变量的离散程度一方面时由于随机因素的干扰造成的(SSE) ，另一方面时由于对离散的自变量的依赖程度造成的(SSR) 。

$R^{2}$ 表示了回归平方和在离差平方和中所占比例，越接近1说明因变量对自变量的依赖关系越显著，拟合效果越好，因此也称决定系数为拟合优度。特别的，对于一元线性回归：y=a0+a1x1 ，决定系数就是变量(x,y) 的相关系数（因为只有一个要素变量x1 ，由上面相关系数的计算公式容易看出）。

参考文献：黄海洋，数学建模实验 P47

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