[P3371 ]【模板】单源最短路径

这道题是模板题，有很多种做法。我使用Bellman-Ford、spfa、floyd算法来做练习，积累些经验。

难点：

1.无穷会因为负权边松弛，即INF+w<INF .

例如：设dis为到点1的最短路的长度，dis[2]=INF,dis[3]=INF,存在边（2，3）=-2，除此之外没有以3为终点的边

则根据dis[v]>dis[u]+w，dis[3]=INF-2！=INF，这将导致dis[3]理论上结果为无穷，但是实际数值不为INF的情况。

为避免这种松弛导致判断不可达该点时， dis[i]!=INF但i点实际不可达的情况，采取特判dis[u]不为无穷，避免松弛。

         int u=edges[i].u,v=edges[i].v,w=edges[i].w;if(dis[u]!=INF&&dis[v]>dis[u]+w)/*无穷会因为负权边松弛，即INF+w<INF .为避免这种松弛导致判断不可达该点时，dis[i]!=INF但i点实际不可达的情况，采取特判dis[u]不为无穷，避免松弛。 */{dis[v]=dis[u]+w;}

2.若不能到达则输出 2³¹-1。这个数据在Int范围内，但是表示时需要注意移位运算与减法运算的优先级

long long INF=(1<<31)-1;//减法优先级高于移位，需要加括号提高优先级

整体代码如下，没有考虑优化，三个TLE。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10,M=5e5+10, INF=(1<<31)-1;//减法优先级高于移位，需要加括号提高优先级
int idx;
long long dis[N];
struct edge{int u,v,w;//出边、权值、下一出边
};
edge edges[M];
int n,m,u,v,w;
void add(int u,int v,int w){edges[idx].u=u;edges[idx].v=v;edges[idx].w=w;idx++;
}
void BF(){for(int i=0;i<n-1;i++)//传递n-1次，避免负环 {for(int i=0;i<m;i++){int u=edges[i].u,v=edges[i].v,w=edges[i].w;if(dis[u]!=INF&&dis[v]>dis[u]+w)/*无穷会因为负权边松弛，即INF+w<INF .为避免这种松弛导致判断不可达该点时，dis[i]!=INF但i点实际不可达的情况，采取特判dis[u]不为无穷，避免松弛。 */{dis[v]=dis[u]+w;}}}
}
int main(){int s;cin>>n>>m>>s;for(int i=0;i<m;i++){//录入边， cin>>u>>v>>w;add(u,v,w);}for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF;//该无穷大无法用类似0x3f赋值 dis[s]=0;//源点最短路初始化 BF();for(int i=1;i<n;i++)cout<<dis[i]<<' ';cout<<dis[n]<<endl;return 0;
}

优化

某轮未发生松弛，则接下来的传递必然不会发生松弛。

方案：采用对每轮标记是否发生松弛，来判定结束时机。结束时机要么是所有轮迭代完，要么是某轮未发生松弛

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10,M=5e5+10, INF=(1<<31)-1;//减法优先级高于移位，需要加括号提高优先级
int idx;
long long dis[N];
struct edge{int u,v,w;//出边、权值、下一出边
};
edge edges[M];
int n,m,u,v,w;
void add(int u,int v,int w){edges[idx].u=u;edges[idx].v=v;edges[idx].w=w;idx++;
}
void BF(){for(int i=0;i<n-1;i++)//传递n-1次，避免负环 {    int check=0; //每轮都需要初始标记 for(int i=0;i<m;i++){int u=edges[i].u,v=edges[i].v,w=edges[i].w;if(dis[u]!=INF&&dis[v]>dis[u]+w)/*无穷会因为负权边松弛，即INF+w<INF .为避免这种松弛导致判断不可达该点时，dis[i]!=INF但i点实际不可达的情况，采取特判dis[u]不为无穷，避免松弛。 */{dis[v]=dis[u]+w;check=1;//松弛则标记该轮传递有 }}if(!check)break;//某次传递所有点都没有松弛，则说明所有可能的松弛已经结束。 }
}
int main(){int s;cin>>n>>m>>s;for(int i=0;i<m;i++){//录入边， cin>>u>>v>>w;add(u,v,w);}for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF;//该无穷大无法用类似0x3f赋值 dis[s]=0;//源点最短路初始化 BF();for(int i=1;i<n;i++)cout<<dis[i]<<' ';cout<<dis[n]<<endl;return 0;
}

spfa是上面算法的队列优化版本

思想：被松弛的终点v可以作为下一次传递的起点u，来尝试下一次传递。

由于松弛后v的最短路路长被修改，那么它的所有出度结点的最短路都会受到影响。好比一波激起千层浪。

故而通过将被松弛节点v入队列的方式维护它的出度，维护完毕后则该节点v出队。如果被松弛的终点v在队列中，显然它正等待维护它的出度。由于终点被松弛后会影响它的出度，但只会因为两点关联的边而发生可能的松弛，由关联的定义得维护出度只需要一次传递即可，因此被松弛且队列的终点v不需要再次入队，否则就是浪费时间。

显然是一种贪心策略：通过确定当前结点v的最短路路长，来维护v的所有出度的最短路。

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10,M=5e5+10;
const long long INF=(1<<31)-1;
int n,m,s;
long long dis[N];
int vis[N],idx,h[N],ne[M],e[M],to[M];
void add(int u,int v,int w){ne[idx]=h[u];to[idx]=v;e[idx]=w;h[u]=idx++;
}
void spfa(){for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF;dis[s]=0;queue<int> q;q.push(s);while(!q.empty()){int t=q.front();q.pop();vis[t]=0;for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){int v=to[i],w=e[i];if(dis[t]!=INF&&dis[v]>dis[t]+w){dis[v]=dis[t]+w;if(!vis[v]){//被松弛且未在队列q中的汇点入队 vis[v]=1;q.push(v);}} }}
}
int main(){freopen("test.txt","r",stdin);cin>>n>>m>>s;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=0;i<m;i++){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;add(a,b,c);}spfa();for(int i=1;i<n;i++)cout<<dis[i]<<' ';cout<<dis[n]<<endl;return 0;
}

floyd算法

采用floyd求解会超时。

而且本题的重边会导致邻接矩阵算法WA。重边的应对方案是记录其中权值最小的边。

for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;if(maze[u][v]>w)//应对本题的重边 maze[u][v]=w;}

本题仍需要松弛，因此需要判断松弛对象是否为INF，避免松弛无路顶点的情况

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10,INF=(1<<31)-1;
int maze[N][N];
int n,m,s;
void floyd(){for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){if(maze[k][j]!=INF&&maze[i][k]!=INF&&maze[i][j]>maze[i][k]+maze[k][j]){maze[i][j]=maze[i][k]+maze[k][j];}}
}
int main(){freopen("test.txt","r",stdin);cin>>n>>m>>s;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j)maze[i][j]=INF;else maze[i][j]=0;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;if(maze[u][v]>w)//应对本题的重边 maze[u][v]=w;}floyd();for(int i=1;i<n;i++){cout<<maze[s][i]<<' ';}cout<<maze[s][n]<<endl;return 0;
}

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