条件概率和事件的相互独立性
一、条件概率
在事件A发生的条件下事件B发生的概率
P(BIA)= P(AB)/P(A)
条件概率满足概率的公理化定义的三条基本性质(非负性、规范性、可列可加性)
设P(A)> 0,则:
(1)非负性公理:对于任意事件B,总有P(BIA)≥0
(2)规范性公理:P(ΩIA)=1
(3)可列可加性公理:两两互不相容的事假,有P( Ai I B)= P(Ai I B)
△概率的六条性质对于条件概率也适用,但要在同一条件下进行
概率的乘法公式:条件概率的分母调到另一边即可。推广如下:
P()=P()...P()P()P(),其中A1,A2...An为一事件组,且P()>0
二、事件的相互独立性
条件概率的特殊情况,即A、B两事件无关时,事件相互独立
公式推导:条件概率下P(BA) P(B),事件独立下P(BA)=P(B),所以事件相互独立下有P(AB)=P(A)P(BA)=P(A)P(B),此时称事件A、B相互独立,简称A、B独立
定理:事件A与事件B相互独立,下列事件也相互独立:A与,与B,与
定义:A、B、C是试验E的三个事件,如果有P(AB)=P(A)P(B) ,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则A、B、C两两相互独立
定义:A、B、C是试验E的三个事件,如果有P(AB)=P(A)P(B) ,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则A、B、C相互独立
从上面两个定义可以看出:在n个事件中,对于其中任意两个事件的积事件的概率等于各事件概率的积,则称这n个事件两两相互独立;如果对于其中任意两个,三个...n个事件的积事件的概率等于各个事件概率的积,则称这n个事件相互独立。
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