背包系列已更新

一，（01背包，填满背包）

二，（多重背包）

三，（完全背包）

一，01背包（对于一个物品，你要么全拿，要么不拿）

核心dp方程，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-a[i]]+b[i]) //i为物品数量，j为空间,a[i]为物品占的空间，b[i]为物品价

1，二维 ac代码

2，优化压缩一维

二，填满背包（只有这个拿了且能把背包空间装满才拿，不然不拿）

1，二维基础

AC代码

2，一维优化（还是一样的道理，简洁又高效）

一，01背包（对于一个物品，你要么全拿，要么不拿）

核心dp方程，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-a[i]]+b[i]) //i为物品数量，j为空间,a[i]为物品占的空间，b[i]为物品价

for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = 0; j <= m; ++j){if (j - a[i] >= 0)dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - a[i]] + b[i]);else dp[i][j] = dp[i - 1][j];  //当然，写上述方程需要你先装得下物品i再说，不行只能继承前面}

dp思想是我拿i个，那我只需要假设前面i-1个已经拿了最优，则拿第i个时，我判断，如果拿第i个，那么前面剩余空间为[j-a[i]]，那么dp[i-1][j-a[i]]+b[i]就是前i-1个，[j-a[i]]的空间加上第i个的价值比上我不拿第i个的价值，取大值

明确后我们就可以从头写到尾

1，二维 ac代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define ll long longconst int N = 1100;//数组放外面默认初始为0
int dp[N][N];
int a[N];  //消耗猫粮
int b[N];//获得豆子int main() {int m, n;  //m为猫粮（即我的空间，n为房间，即物品数量while (cin >> m >> n&&(n!=-1||m!=-1)) {memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> b[i] >> a[i];for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = 0; j <= m; ++j)//表示选择第i个物品时，此时有j空间{     //j初始化为0，因为可能0空间背包也能装大小（占0空间大小的物品（滑稽））if (j - a[i] >= 0)dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - a[i]] + b[i]);else dp[i][j] = dp[i - 1][j];  //当然，写上述方程需要你先装得下物品i再说，不行只能继承前面}cout << dp[n][m] << endl;}return 0;
}

2，优化压缩一维

显然，当我N取1e6或者更大时，二维数组就爆了，而且，我们发现dp转移方程，都是i-1是不是有点多余，于是我们可以选择去除这个i，只保留j就好

核心

 for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = m; j>=a[i]; --j) {//这里i放前面，j放后面,且j从大循环到小，保证一个i只拿一次，j从大到小，就保证本次j空间存入i，后面大空间不会再存一次（因为我从大空间到小空间），导致重复使用dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + b[i]);           //j取到a[i] ,一是防止前面什么0空间还能拿的情况出现，二是你j小于a[i]了，也还是dp[j]，不会更新，不用去浪费时间循环        //这样我dp[j]更新的都是上一组拿i-1个的，不会重复

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define ll long longconst int N = 1100;//数组放外面默认初始为0
int dp[N];
int a[N];  //消耗猫粮
int b[N];//获得豆子int main() {int m, n;  //m为猫粮（即我的空间，n为房间，即物品数量while (cin >> m >> n&&(n!=-1||m!=-1)) {memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> b[i] >> a[i];for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = m; j>=a[i]; --j) {//这里i放前面，j放后面,且j从大循环到小，保证一个i只拿一次，j从大到小，就保证本次j空间存入i，后面大空间不会再存一次（因为我从大空间到小空间），导致重复使用dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + b[i]);           //j取到a[i] ,一是防止前面什么0空间还能拿的情况出现，二是你j小于a[i]了，也还是dp[j]，不会更新，不用去浪费时间循环        //这样我dp[j]更新的都是上一组拿i-1个的，不会重复}cout << dp[m] << endl;}return 0;
}

二，填满背包（只有这个拿了且能把背包空间装满才拿，不然不拿）

其实跟01背包没有很大区别，我们在dp转移加一个判断就好了，只要前面的dp[i-1][j]小于0，我就不装物品，因为他不是填满的。只有满的我才装

1，二维基础

AC代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define ll long longconst int N = 1100;//数组放外面默认初始为0
int dp[N][N];
int a[N];  //消耗猫粮
int b[N];//获得豆子int main() {int m, n;  //m为猫粮（即我的空间，n为房间，即物品数量while (cin >> m >> n&&(n!=-1||m!=-1)) {memset(dp, -1, sizeof(dp));   //初始值赋值-1，设定他们没有填满dp[0][0] = 0;//当然，0空间的背包肯定是满的，这样就作为起点for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> b[i] >> a[i];for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = 0; j <= m; ++j) {if (j - a[i] >= 0) {//首先空间要装的下，这是前提，否则你越负数空间访问得到的就不是正确答案了if (dp[i - 1][j - a[i]] >= 0)dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - a[i]] + b[i]);//只有前面dp为0或者大于0，我才赋值else dp[i][j] = dp[i - 1][j];//这里补一句，是因为，可能进了第一个if，但是第二个if又进不去，然后进来第一个if后面的else就不会去了，导致没有继承前面的dp[i][j] = dp[i - 1][j];}                          //所以写二维真的浪费空间，浪费时间，浪费脑力，好好学一维吧else dp[i][j] = dp[i - 1][j];}cout << dp[n][m] << endl;//如果没有被赋值到，那么他初始化就是-1，有就是答案}return 0;
}

2，一维优化（还是一样的道理，简洁又高效）

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define ll long longconst int N = 1100;//数组放外面默认初始为0
int dp[N];
int a[N];  //消耗猫粮
int b[N];//获得豆子int main() {int m, n;  //m为猫粮（即我的空间，n为房间，即物品数量while (cin >> m >> n&&(n!=-1||m!=-1)) {memset(dp, -1, sizeof(dp));   //初始值赋值-1，设定他们没有填满dp[0] = 0;//当然，0空间的背包肯定是满的，这样就作为起点for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> b[i] >> a[i];for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = m; j >= a[i]; --j) {   //j的范围大于等于a[i]就好，因为你小了肯定不用更新（一维又不需要继承前面i-1的数据）if (dp[j - a[i]] >= 0)dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + b[i]);//可以就更新，不行不用管}cout << dp[m] << endl;}return 0;
}

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背包问题_（DP经典），一，（01背包，填满背包）

一，01背包（对于一个物品，你要么全拿，要么不拿）

核心dp方程，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-a[i]]+b[i]) //i为物品数量，j为空间,a[i]为物品占的空间，b[i]为物品价

1，二维 ac代码

2，优化压缩一维

二，填满背包（只有这个拿了且能把背包空间装满才拿，不然不拿）

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