张艳-埃尔米特Hermite 插值逼近的C语言程序.doc

论文题目：埃尔米特(Hermite) 插值逼近的C语言程序

院 系： 数学科学学院

专 业： 数学与应用数学

姓 名： 张 艳

学 号：

指导教师： 侯 存 贵

完成时间： 2007-5-15

埃尔米特(Hermite) 插值逼近的C语言程序

张艳

包头师范学院数学科学学院

摘要：本文主要探讨埃尔米特(Hermite) 插值逼近的C语言程序算法，着重分析其推导过程，并给出了其C语言程序以及埃尔米特(Hermite)插值逼近的简单应用.

关键词：Hermite插值多项式;插值条件; Hermite插值基函数.

一、Hermite插值多项式定义

定义： 设基点互异.给定,,.要求插值多项式满足 (1)

则称为二重密切Hermite插值多项式，简称为Hermite插值多项式.称为二重插值基点.

(1)式共有个条件，因此Hermite插值多项式通常次数不超过，故可将记为.

二、埃尔米特(Hermite)插值多项式的存在唯一性

定理：关于互异基点满足条件(1)的二重密切次Hermite插值多项式存在且唯一.

证明：设有2n+1次多项式

(2)

满足条件(1)即 (3)

由(2)式知(3)式是一个关于的阶线性方程组.的存在唯一性决定于(3)式为齐次线性方程系组，即当=0，=0()时，(3)式仅有平凡解 .现用反证法证明：若齐次方程组有非平凡解，则表示存在一个次数不高于的多项式满足

为的互异的二重零点，即次多项式有个零点(包括重数)，这和代数基本定理相矛盾.

三、埃尔米特(Hermite)插值多项式的构造

由定理知存在且唯一，我们用类似于拉格朗日插值多项式的构造方法来构造Hermite插值多项式

设，，，分别满足插值条件

(4)

(5)

(其中表示克罗内克(Kronecker)符号.当， 时=1；当，时=0.)的次多项式，于是次数不超过次多项式 能够满足插值条件 .因而就是所要求的次多项式.因此只要构造出满足条件(4)(5)的和即可.我们把满足插值条件(4)(5)的次多项式和()称为Hermite插值基函数.下面构造和

由于关于基点的拉格朗日基函数满足 ( ，)且是次多项式，结合插值条件(4)设为，则依据条件(4)要求应有

当时，由于 故

当时应有

从中解出 可得

从而得到

设为 则

依据条件(5)要求应有

当时，由于 故

当时，故也应有 而

故 即

因此，我们得到埃尔米特插值函数的基函数为

根据插值条件，利用二重密切的Hermite插值基函数的性质，Hermite插值多项式可简单地表示为

四、埃尔米特(Hermite)插值多项式误差

在求解某些数学问题时，用有限的过程代替无限过程所产生的误差称为截断误差(或方法误差).

定理：a：设的导数于[a,b]连续，于(a,b)内存在， ()互异；

b:为Hermite插值多项式；

则 .

其中与有关。

五、埃尔米特(hermite)插值程序

功能：给定个基点，()上的函数值及一阶导数值，，用埃尔米特(Hermite)插值公式计算出给定插值点处的函数近似值.

程序如下：

#include

#include

#include

#include

#define EPSILON 1.0e-12

#define N 3

double hermite(double x,double xi[N],double yi[N],double dyi[N])

{ int i,j;

static double li,sum,y,gix[N],hix[N];

for(i=0;i

{ li=1.0;sum=0.0;

for(j=0;j

if(j!=i)

{ if(fabs(xi[i]-xi[j])

{ printf("The interpolation base points overlapping!\n");

printf("Strike any key to exit!\n");

getch();

exit(1);