简单低通滤波器设计及matlab仿真

东北大学

研究生考试试卷

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东北大学研究生院培养办公室

数字滤波器设计

技术指标：通带最大衰减： =3dB，通带边界频率： ＝100Hz 阻带最小衰减： ＝20dB 阻带边界频率： ＝200Hz采样频率：Fs=200Hz

目标：1、根据性能指标设计一个巴特沃斯低通模拟滤波器。2、通过双线性变换将该模拟滤波器转变为数字滤波器。

原理：一、模拟滤波器设计每一个滤波器的频率范围将直接取决于应用目的，因此必然是千差万别。为了使设计规范化，需要将滤波器的频率参数作归一化处理。设所给的实际频率为(或)，归一化后的频率为，对低通模拟滤波器令＝，则，。令归一化复数变量为，，则。所以巴特沃思模拟低通滤波器的设计可按以下三个步骤来进行。(1)将实际频率规一化(2)求Ωc和N

这样Ωc和N可求。根据滤波器设计要求＝3dB，则C＝1，这样巴特沃思滤波器的设计就只剩一个参数N，这时

(3)确定因为，根据上面公式有

由解得，＝1，2，···，2N这样可得

求得后，用代替变量，即得实际需要得。

二、双线性变换法双线性变换法是将平面压缩变换到某一中介平面的一条横带里，再通过标准变换关系将此带变换到整个z平面上去，这样就使平面与平面之间建立一一对应的单值关系，消除了多值变换性。为了将平面的轴压缩到平面的轴上的到一段上，可以通过以下的正切变换来实现：

这样当由经变化到时，由经过0变化到，也映射到了整个 轴。将这个关系延拓到整个平面和平面，则可以得到

再将平面通过标准变换关系映射到平面，即令得到

同样对z求解，得到

这样的变换叫做双线性变换。为了验证这种映射具有s平面的虚轴映射到z平面单位圆上的特性，考虑 ,，得

除了使s平面的虚轴映射到单位圆上之外，s平面的左半部分映射到单位圆的内部，s平面的右半部分映射到单位圆的外部。

设计过程一、计算滤波器阶数N和截止频率Ωc。根据公式：

代入数据，计算可得：ps=0.5Kps=0.99885N=3.3151所以取N=4，即滤波器为四阶滤波器。计算3dB截止频率，根据公式 计算可得Ωc=112.6096

二、计算系统函数已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为：

将S用S/Ωc替代，求出系统函数：Ha(s) = b/ (s4+a3s3+ a2s2+ a1s+ a0)其中：b=2.5063*10^(11)a3=1.8489*10^(5)a2=1.7092*10^(6)a1=9.2560*10^(8)a0=2.5063*10^(11)

三、程序实现模拟滤波器(MATLAB)clear; close allfp=100;fs=200;Rp=3;As=20; %滤波器指标[N,fc]=buttord(fp,fs,Rp,As,'s') %计算阶数N和3dB截至频率fc[B,A]=butter(N,fc,'s'); %设计低通巴特沃斯模拟滤波器[hf,f]=freqs(B,A); %计算模拟滤波器频率响应plot(f,20*log10(abs(hf)), 'r')grid; xlabel('频率Hz');ylabel('幅度dB')title('模拟低通滤波器');axis([0,250,-25,5])line([0,250],[-3,-3]);line([100,100],[-25,5]);line([0,250],[-20,-20]);line([200,200],[-25,5]);响应曲线如下

四、通过双线性法变换将模拟滤波器转变为数字滤波器首先根据公式

将 H (s)转换为H(z)。计算可得：H(z)分子系数为：Mz = 0.0197 0.0786 0.1179 0.0786 0.0197H(z)分母系数为：Nz = 1.0000 -1.7271 0.0871 1.8682 -0.9138 1-1.7271 Z-1+0.0871 Z-2+1.8682 Z-3-0.9138 Z-40.0197+0.0786 Z-1+0.1179 Z-2+0.0786 Z-3+0.0