前言

部分摘自汪小帆《复杂网络理论及其应用》

提示：以下是本篇文章正文内容，下面为学习笔记

一、引文

1.1 Konigsberg七桥问题—图论

1 8世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）

七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成。

1.2 ER 随机图

随机图(random graph)是一类重要的图。它是伴随有不确定性的图.按某种随机方式删去一个图G的某些节点或边而保留下来的图称为随机子图，又称随机图。
在ER随即图中，任意两个节点之间有一条边相连接的概率是p

1.3 小世界实验

例：六度分离理论

1.3.1 Milgram的小世界实验
1.3.2 Kevin Bacon游戏

Kevin Bacon六度理论是“六度分离”的一个变化形式，这一理论认为世界上任何人都可以通过之多六个人与任何人获得联系，这随后演变成为一个小游戏，通过考验电影发烧友如何将任何一个演员与好莱坞老将Kevin Bacon进行连接，以体现他们的发烧程度。

复杂网络新纪元开始的标志是以下两个论文

推荐论文；
（1）watts and strogatz 《“小世界”网路的集体动力学》
（2） Barabási*, Réka Albert《随机网络中标度的涌现》

二、基本概念

2.1.平均路径长度

网络的平均路径长度 L 定义为任意两个节点之间的距离的平均值，即

N为网络节点数，d为两点间的距离

上式是网络的平均路径长度，其中包括了节点到自身的路径（这个路径始终为0）。如果不算到自身的情况，则分母下应该是N(N-1)/2。

这个N(N+1)/2也很好解释。用循环的形式表示如下：
代码如下（示例）：

for(i=1;i<=N;i++) {for(j>=i;j<=N;j++{}
}

内层循环的执行次数为N+N-1+N-2+…+1 = N(N+1)/2。

2.2 聚类系数

聚类定义：在你的朋友关系网络中，你的两个朋友很可能彼此也是朋友，这种属性称为网络的聚类特性
聚系数（也称群聚系数、集群系数）：用来描述一个图中的顶点之间结集成团的程度的系数。具体来说，是一个点的邻接点之间相互连接的程度。

整体集聚系数的定义建立在闭三点组（邻近三点组）之上。假设图中有一部分点是两两相连的，那么可以找出很多个“三角形”，其对应的三点两两相连，称为闭三点组。除此以外还有开三点组，也就是之间连有两条边的三点（缺一条边的三角形）。这两种三点组构成了所有的连通三点组。整体集聚系数定义为一个图中所有闭三点组的数量与所有连通三点组（无论开还是闭）的总量之比（也有定义为这个值的三倍，使得在完全图中的整体集聚系数等于1）。

假设网络中一个节点 i 有 ki 条边将它和其它节点相连，这 ki 个节点成为i的邻居，显然在这ki个节点中最多可能有 ki ( ki - 1 ) / 2条边。而这ki个节点之间实际存在的边数 Ei 和总的可能边数 ki ( ki - 1 ) / 2 之比就定义为节点 i 的聚类系数

从几何上看上式等价为

其中与节点i相连的三元组是指包括节点 i 的三个节点，并且至少存在从节点 i 到其它节点的两条边

聚类系数是描述小世界网络的重要参数，聚类系数大、平均路径短的网络被称之为小世界网络。

总结

以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了复杂网络的一些基本概念。

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