任务含有时间窗与资源含有上下班时间的时间冲突约束构建思路
任务含有时间窗与资源含有上下班时间的时间冲突约束构建思路
任务信息
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| i,∀i∈Ni, \forall i\in Ni,∀i∈N | 任务编号 |
| STiST_iSTi | 任务iii最早开始时刻 |
| ETiET_iETi | 任务iii最晚结束时刻 |
| WiW_iWi | 任务iii工作时长 |
资源信息
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| j,∀j∈Rj, \forall j\in Rj,∀j∈R | 资源编号 |
| UjU_jUj | 资源jjj的上班开始时间 |
| DjD_jDj | 资源jjj的开始下班时间 |
变量：
xijx_{ij}xij：01变量。1表示资源jjj被指派给任务iii，0表示其他；
tit_iti：整数变量。任务iii的实际开始时刻。
约束描述
- 当任务i的实际开始时刻小于资源j的上班开始时间时，任务i不能被分配给资源j
- 当任务i的实际开始时刻大于资源j的上班开始时间时，任务i不能被分配给资源j
也就是
if:ti≤Uj,thenxij=0else:xij=0or1if: \ t_i \le U_j \ , \ then \ \ x_{ij} = 0 \\ else: \ \ x_{ij} = 0 \ or \ 1 if: ti≤Uj , then xij=0else: xij=0 or 1if:ti≥Dj,thenxij=0else:xij=0or1if: \ t_i \ge D_j \ , \ then \ \ x_{ij}=0 \\ else: \ \ x_{ij} = 0 \ or \ 1 if: ti≥Dj , then xij=0else: xij=0 or 1
怎么用数学表达式构建这个约束呢？
联想到一条比较常用的约束：
∑i∈Nxij≤yj∗M,∀j∈R\sum_{i\in N}x_{ij} \le y_j*M , \forall j\in R i∈N∑xij≤yj∗M,∀j∈R
其中M是一个极大值，这条约束表示当xij对i求和大于0时yi=1x_{ij}对i求和大于0时y_i=1xij对i求和大于0时yi=1，当xij对i求和等于0时yi={0,1}x_{ij}对i求和等于0时y_i=\{0,1\}xij对i求和等于0时yi={0,1}。可以看到这条约束与我们的需求十分相似。不同的是这条约束满足条件时yi=1y_i=1yi=1，我们的是等于0，既然这样我们只需要引入一个辅助变量使得我们满足条件时也为0就好啦。
约束构建
变量:
xijx_{ij}xij：01变量。1表示资源jjj被指派给任务iii，0表示其他；
yijy_{ij}yij：01变量。1表示资源jjj不被指派给任务iii，0表示其他；
tit_iti：整数变量。任务iii的实际开始时刻。
约束：
xij+yij=1,∀i∈N,j∈Rx_{ij} + y_{ij} = 1 , \forall i\in N,j\in R xij+yij=1,∀i∈N,j∈R
Uj−ti≤yij∗M,∀i∈N,j∈RU_j - t_i \le y_{ij}*M , \forall i\in N,j\in R Uj−ti≤yij∗M,∀i∈N,j∈R
ti−Dj≤yij∗M,∀i∈N,j∈Rt_i - D_j \le y_{ij}*M,\forall i\in N,j\in R ti−Dj≤yij∗M,∀i∈N,j∈R
以上就是最终的约束表达式，希望这篇文章对你有帮助。
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