玻利亚(Polya)的《怎样解题》

怎样解题

世界上解决问题的思维过程无非是已知、求、解的过程。

数学题（包括代数题和几何题）一般告诉了已知条件、求解的问题，需要寻求答案；

语文题一般只告诉你题目，已知条件需要作者发挥；

社会问题一般是要自己寻找问题，寻找已知条件，寻求解决问题的方法（有些问题是大家共知的，需要寻求已知条件和解决办法）。

软件编程问题一般：告诉需求，寻找满足需求的方案，执行方案

所以解题是学生学习的关键。那么怎样解题呢？

如何解题表

第一：你必须弄清问题。——弄清问题。

未知数是什么？

已知数据是什么？

条件是什么？

满足条件是否可能？

要确定未知数，条件是否充分？

或者它是否不充分？

或者它是多余的？

或者是矛盾的？

画张图。

引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。

你能否把它们写下来？

第二：拟定计划/方案

第二：找出已知数与未知数之间的关系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。——拟订计划。

你以前见过它吗？

你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题？

你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？

你能利用它的结果吗/你能利用它的方法吗？

为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

你能不能重新叙述这个问题？

你能不能用不同的方法重新叙述它？

回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？

一个更普遍的问题？

一个更特殊的问题？

一个类比的问题？

你能否解决这个问题的一部分？

仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？

它会怎样变化？

你能不能从已知数据导出某些有用的东西？

你能不能想出适于确定未知数的其他数据？

如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？

你是否利用了整个条件？

你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三：实行你的计划。——实现计划。

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步骤是正确的？

你能否证明这一步骤是正确的？

第四：验算所得到的解。——回顾。

你能否检验这个论证？

你能否用别的方法导出这个结果？

你能不能一下子看出它来？

你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？

这一步骤是正确的？

乔治·波利亚的简历

　美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（GeorgePolya,1887～1985）对回答上述问题非常感兴趣，他先后写出了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》。这些书被译成很多国家的文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。对数学教育产生了深刻的影响。正因为如此，当波利亚 93岁高龄时，还被国际数学教育大会聘为名誉主席。

　波利亚1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、纵使数学、数论，几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，不愧为一位杰出的数学家。

波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。

波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。

波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。

波利亚强调发现，不仅仅是指发现解法，而且也包括数学的创新发现。他把阐述自己“对解题的理解、研究和讲授”的书取名为《数学的发现》，我想大概就是这个原因。他在这本书的第二卷中，还专门详细介绍了数学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（顶点数—棱数+面数=2）的全过程，生动地再现了欧拉如何一步一步地进行归纳和猜想，最终得到上述公式的。也就是把处于发现过程中的数学，照原样提供给我们。展示教学家创新发现的思维活动过程，自然而生动地显示归纳和猜想在数学发现中的重要作用，这在教科书和一般的数学著作中是极少见到的，而这对于学习数学却是非常重要的。波利亚要求我们不仅要学习证明，而且要学习猜想。也就是不仅要培养和提高解题能力，而且要学习和培养创新能力。

波利亚和“怎样解题表”（推荐）

波利亚和“怎样解题表”(推荐)
    乔治·波利亚(g.polya,1887-1985年)出生于匈牙利布达佩斯。上中学时,他就是一个很有上进心的学生。但每当遇到较难的数学题时,他也时常感到困惑:“这个解答好像还行,它看起来是正确的,但怎样才能想到这样的解答呢?这个结论好像还行,它看起来是个事实,但别人是怎样发现这个事实的?我自己怎样才能想出或发现他们呢?”
    波利亚带着一连串的困惑与1905年走进了布达佩斯大学,并在那里获得博士学位。之后,波利亚先后到哥廷根大学、巴黎大学、瑞士联邦工学院进行数学研究或任教。1940年移居美国,并在斯坦福大学任教,直到退休。
    无论在学习期间或任教期间,波利亚始终不忘研究少年时学数学所遇到的困惑。1944年8月,波利亚终于将他的研究成果公布于世,这就是名着《怎样解题表》。该书出版后,不胫而走,迅速传遍全世界。直到今天,该书仍被各国数学教育界奉为经典。
    “怎样解题表”就是《怎样解题》一书的精华,该表被波利亚排在该书的正文之前,并且在书中再三提到该表。实际上,该书就是“怎样解题表”的详细解释。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤,只要解题时按这四个步骤去做,必能成功。同学们如果能在平时的做题中不断实践和体会该表,必能很快就会发出和波利亚一样的感叹:“学数学是一种乐趣!”
    怎样解题表
    第一步:你必须弄清问题。
    1.已知是什么?未知是什么?要确定未知数,条件是否充分?
    2.画张图,将已知标上。
    3.引入适当的符号。
    4.把条件的各个部分分开。
    第二步:找出已知与未知的联系。
    1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题?
    2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题?
    3.回到定义去。
    4.你能否解决问题的一部分?
    5.你是否利用了所有的条件?
    第三步:写出你的想法。
    1.勇敢地写出你的方法。
    2.你能否说出你所写的每一步的理由?
    第四步:回顾。
    1.你能否一眼就看出结论?
    2.你能否用别的方法导出这个结论?
    3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题?

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玻利亚的《怎样解题》曾经掀起欧美数学界的震动。他是一位基础的数学家和教育家，作为数学家，他在数学的各个分支中，都有璀璨的成就。欧美的数学家曾经呼吁，学数学的人，要读读伯利亚，不学数学的人，也要读读伯利亚。数学老师要读读伯利亚，初中生高中生大学生要读，数学家也要读读伯利亚。他写的怎样解题，介绍了在数学中的普遍规律，几乎全部是文字叙述。为了方便大家更快的阅读，节省时间，我整理了一下，这样，您在10分钟之内，就可以读完。有些地方，值得仿佛阅读，牢记

解题是对过去的回忆

让目标调动你的记忆力。

我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节。这样做，我能得到什么好处?你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，即便非常迟钝和平凡、并且以前没有能力推任何事物的学生，最后也会被迫对解题的思路至少作出微小的贡献。

我应该从哪儿开始?从问题的叙述开始。

我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节。这样做，我能得到什么好处?你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，做好准备去重新联想与问题有关的各点。

力图利用已知结果和回到定义去，是引入辅助元素的一些最好的理由；但它们不是仅有的理由。为了使问题的概念更完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可以引入辅助元素，虽然目前我们几乎不知道我们怎样才能利用这些所添加的元素。我们可能仅仅感觉到加上这样那样的元素用那种方式看问题是个"好念头"。

解题是对过去的回忆

让目标调动你的记忆力。

我应该从哪儿开始?从问题的叙述开始。

探寻你解题步骤目的和动机

如果一条微妙的辅助线在图中出现得很突然看不出任何动机，并且令人惊讶地解决了问题，那末聪明的读者和学生将会失望，他们感到上当受骗。因为只有在我们的论证及发明会创造的能力中充分发挥了数学的作用后，数学才是有趣味的。如果最引人注目的步骤的动机和目的不可理解，那么我们在论证和发明创造方面就学不到什么东西。为使这样的步骤可以理解，需要加以适当的说明(如前面(3)中所做的那样)，或者精选问题和建议(象第lO、18、*9、20节中所做的那样)，这需要大量的时间和精力，但却是值得一做的。

人和飞虫的区别

一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇。人能够或者至少能够行动得更聪明些。人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题。构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。举出一个有助于另一问题的清晰的新问题，能够清楚地把到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智慧的卓越成就。学会(或教会)怎样聪明地处理辅助问题是一项重大任务。

但是，我将煞费苦心地用清晰的词句来说明所有有才能的人所遵循的研究规则与方法。

人们可能认为，这种现象对于处理某个高级问题的有经验的数学家要比那些解决某个初等问题的初学者更有可能发生。可是，具有大量数学知识的数学家比初学者更容易冒滥用知识而使论证不必要地复杂起来的危险。但作为补偿的是，有经验的数学家比初学者更能重视结果中细微部分的重新解释，并且把它们积聚起来，最终重新写出整个结果。

解题本质，跨越鸿沟

在我们面前有个未解决的问题，一个随便用什么方法处理的问题。我们必须找出已知与未知间的联系。我们可以把我们待解的问题表示成已知与未知之间的广阔空间，当作已知与未知之间的一道鸿沟，在其上需要架桥。我们架桥可以从任何一边(从未知或者从已知)开始。

一个高水平的学生对此也可能一筹莫展。当然，有各种办法可试，但帮助学生精神重新振作起来的最好问题是：你能从已知事项导出什么有用的东西

如果你钻到细节中去，你可能会在细节中迷途。过多或过细的具体情节是脑力的一种负担。它们如一叶障目会阻碍你充分注意主要之点，甚至使你完全看不到主要之点，只见树木而不见森林。

我们当然不希望为不必要的细节去浪费我们的时间，我们应该把我们的精力用到主要内容上。困难就在于我们事先说不出哪些细节最后会变成主要的，而哪些又不会。

数学的解题是一种组合

当然，重新组合的可能性是无限的。困难的问题需要有一种神奇的、不寻常的、崭新的组合。而解题者的才能就在于组合的独创性。但也存在着某些普通的、相对简单的组合，它们对于较简单的问题而言已经够用。对于这样的组合我们应当彻底加以了解并且首先试用，即使我们最后不得不求助于不太显而易见的方法。

消去花哨让人犯怵的数学专业术语，回到定义上，看到客观事实的真正联系。（你看到WC你应该像想到厕所，然后，是排泄的地方，然后是具体马桶小便池，于是，就把WC这个专业术语消去，让花哨而让人反感的术语，变成了现实的联系，数学术语也是这样。）

数学中的专业术语有两类。有些作为原始术语不加定义而被接受.可是数学家却不关心他的专业术语有什么流行的意义，至少他主要不关心.数学定义产生数学上的意义。

消去专业术语。为了消去一个专业术语，我们必须知道这个专业术语的定义；但仅知其定义还不够，我们还必须利用定义。我们在问题的概念中引入适当的元素。我们在定义的基础上建立所引入的元素之间的关系。如果这些关系完全表了术语的含义，则我们就已经利用了定义。利用了定义，我们同时也就消去了专业术语。

刚才所叙述的过程可称为：回到定义去. 用回到一个专业术语定义的办法，我们除去了这个术语，而代之以新元素和新关系。这在我们的问题的概念中所产生的变化可能很重要。无论如何，对问题的某种重新叙述，"问题的某种变化"是与结果密切相关的。然而在有些情况下，我们并没有选择的余地。如果我们只知道概念的定义，别无其他，我们就只好被迫采用这定义。如果我们所知并不比定义为多，我们最好的机会可能是：回到定义去。但是，如果我们知道有关概念的许多定理，并且已有许多使用这些定理的经验，那么我们就有机会找到一个涉及上述概念合适的定理。

回到定义去是一项重要的智力活动。如果我们希望了解为什么字的定义如此重要，那么我们应当首先认识到，字是重要的。如果不用字，不用符号或某种记号，我们几乎不能思维。所以，字和符号是有威力的。原始民族信仰字和符号具有魔力。我们可以理解这种信仰，但却不可苟同。我们应当知道在于字给我们提示的概念以及这些概念最终所依据的事实

因此，寻求字面背后的意义和事实是一种健全的倾向。对于回到定义去数学家寻求的是：掌握那些在专业术语后面数学对象间的实际关系；物理学家寻求的是：专业术语后面的明确实验；而具有某种常识的普通人则希望找出铁的事实而不仅仅为字面所愚弄。

决心，希望，成功

（按照《谁动了我的奶酪》观点，一些技巧不要问什么，记住使用，立即行动。）

认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重要半心半意和懒洋洋地同意做一点事情，对于在教室中做代公式题可能是够了但是，去求解一个严肃的科学问题需要坚强的意志才能成年累月地含辛茹苦和

决心随着希望与失望，称心与挫折而波动摇摆。当我们认为解答就在眼前时，决心很容易维持；当我们陷入困境，无计可施时，决心很难持下去。

当我们的推成为现实时，我们欢欣鼓舞。当我们以某种信心所遵循的道路突然受阻时，我们又不免垂头丧气，我们的决心也随之动摇了。

锁定你的目标

在科学工作中，决心的大小必须灵活地根据前景而定。除非你对一个问题有某些兴趣，你才去着手解答它；如果这问题看来有指导意义，那么你就定下心来认真地去作；如果它很有搞头，你就全力以赴。一旦你目标已定，你就要锲而不舍，但你的日标对你自己来说不可过高。你不要轻视微小的成功，相反你要追求它们：如果你不能解决所提问题，首先尝试解决某个有关的问题。

当一个学生的错误实在很大或者迟钝得令人恼火时，原因几乎总是相同的：他根本不想解题，甚至不愿正确理解这个问题，所以他对问题并未理解。因此，凡是真心希望帮助学生的教师首先应当挑起学生的好奇心，给他某种解题的愿望。同时教师也应当给学生一一些时间，使他下定决心，定下心来做他的功课。

数学好的人是坚强的，不达目的，决不罢休。

教学生解题是意志的教育。当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴。如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了

学生常犯的毛病

由于思想不集中而造成的对问题了解不完整大概是解题中最为常见的毛病。至于在制定一个计划并得到求解的一个总的概念这一阶段中，常见的是两种截然不同的毛病。有的学生没有任何计划或总的概念，就急急忙忙地选人具体计算和作图；另一些学生则笨头呆脑地等着某个念头的降临，而不会做任何事情去加速其来到。在实现计划阶段，最常见的毛病是粗枝大叶，不耐心检查每一步。根本不检查结果是屡见不鲜的；学生乐意得到一个答案，丢下笔结束，对于最靠不住的答案他们也满不在乎。

由于我们的知识是逐步增加的，我们对问题的概念在结束时要比开始时丰富得多，但现在它怎么样了?我们已经得到所需要的了吗?我们的概念足够吗?你是否利用了所有的已知数?你是否利用了整个条件?对于求证题，相应的问题是：你是否利用了全部前提?

我们所讨论的问题以审查我们对问题的概念的完整性为目的。如果我们没有把任何主要的数据，或条件，或前提考虑进去，那么我们的概念肯定不会完整。但如果我们不体会某个主要术语的意义，则我们的概念也不完整。因此，为了检查我们的概念，也应该提问：你已考虑了问题中所包含的所有必要的概念吗?

你知道一个与此有关的问题吗?（我们要记住曾经发生过什么）

我们几乎不能想象有一个问题是绝对的新颖，和我们以前解决过的任何问题都不相似，都无关系；但若居然有这样一个问题存在，它将是不可解的。事实上，

当解决问题时，我们总利用以前解决的问题，用其结果或用其方法，或利用解决它们时所得到的经验。当然我们所利用的这些问题必须在某一方面与我们当前的问题有关。所以，我们提这个问题：你知道一个与此有关的问题吗?

画张图

检验你的猜

让几何图形帮助你思考

这个定理看起来比前一定理更好着手；当然，它较弱。无论如何，我们应当弄清楚它们是什么意思；我们应当有勇气更详细地去重新说明它。用代数语言去重新表述它一遍是有好处的。

已知的条件，用红色的笔写，未知的用黑色

为了强调不同线段的不同地位，你可以使用粗线或细线，实线或虚线，或者用不同颜色的线。如果你尚未完全决定采用某一根线作辅助线的话，你就轻一点画它。你可以用红笔画已知元素，而用其他的颜色来强调重要的部分

为了得到解答，我们必须从我们的记忆中汲取有关的知识，我们必须调动起我们记忆中处于休眠状态的知识的有关部分("进展与成就")。当然我们事先不知道哪部分知识有用，但是存在可能性，我们不应放弃探索。

集中注意力于我们的目标，集中意志于我们的目的，我们就会想出到它的方式和方法。到目的的方法是什么?你怎样到你的目的?你怎样才能得到这类结果?什么原因会产生这样一个结果?你在哪里看见过这样一个结果?为了得到这样一个结果，人们通常怎么办?于是尝试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题。尝试想起一个具有相同或相类似结论的熟悉的定理集中注意力于我们面前的问题，我们尝试找出应该引入哪类问题，哪个早已解决的问题(具有相同未知数的)最适合我们当前的目的。

阿基米德是如何用已有的知识解决新问题的

我们刚才提过，当阿基米德求球面积时，他并不知道任何有相同未知数而且早已解决的问题。但他却知道各种有相似未知数而早已解决的问题。有些曲面的面积比球面积容易求，它们在阿基米德时代已为人所共知，如正圆柱体的侧面积，正圆锥体的侧面积，圆台的侧面积等等。我们可以肯定，阿基米德曾经仔细地考虑过这些较简单的相似情况。事实上，在其解答中，他利用了一个由两个锥体与若于个圆台所组成的复合体来作为球体的近似(见"定义"，

数学符号

对数学符号的重要性我们几乎总是不会估计过高的。说活与思维有密切联系，使用文字有助于思维，凡对严肃的数学工作稍具经验的人都知道：不用文字而只注视几何图形或仅演算代数符号也可以进行一些相当艰巨的思维。图及符号和数学思维有密切的联系，它们的使用有助于思维。使用符号对于运用推理看来是必不可少的。

数学符号看来象一种语言一种构造良好的语言，一种非常适合其目的、简练而准确的语言，其规则与常的语法不同

但在精确性很重要的场合下，我们必须小心选择我们的用词。在解题中，选择符号是重要的一步。应谨慎从事。我们现在花费在选择符号上的时间，以后可由避免了狐疑不定和混乱而节省下来的时间所弥补。此wai在小心选择符号时，我们必须把问题中需加符号的元素仔细想个明白。这样选择一个合适的符号可能大大促进了对于问题的了解。

一个好符号应该是不含糊的、富有意义的、便于记忆的；它应该避免有害的第二重意义而利用有用的第二重要意义；符号的次序与联系应提示事物的次序与联系。

当符号的次序与联系可向我们提示对象的次序与联系时，符号对于形成哉们的概念特别有用。

聪明过人的孩子有时也会对数学符号反感

不但班级中最不可造就的孩子可能讨厌代数，甚至聪明过人的孩子有时也会对它反感。符号总不免有些武断和不自然；学习一种新符号对记忆是一种负担。如果聪明的学生不理解这种负担有什么好处，他就会加以拒绝。如果他没有充分的机会亲身体验到"数学符号语言有助于思维"，那么他讨厌代数是无可非议的。帮助学生获得这方面的经验体会是教师的重要职责，是最重要的职责之一。

分析和综合-------原始人过河的故事(同济大学第四版关于二元函数泰勒级数的公式，刚开始引用的辅助函数，实际是在三位空间中，把相对xy轴变量的变动，归结为对角线的变动，然后，通过设比例的方式，同以表达了二元的分别变动，但是，他没有给出说明，我认为，违背了分析的精神，烂）什么是综合?这就是一步一步地做完这些由分析所预见到的可能的计算。解题者完成他的问题并不需要什么新念头，计算各个未知数时只需要耐心与注意。一个原始人希望过一条小河；但他不能用通常的办法河，因为昨晚已经涨水了。于是，河成为一个问题的对象；" 河"即这个原始问题中的x。这个人可能回想起他曾沿着一棵倒下的树过其它几条河。于是他到处寻找一棵合适的倒下的树，这就成为他的新的未知数y。他找不到合适的树，但有大量的树立在河边；他希望其中有一棵能倒下来。他能使一棵树倒下来横跨这条小河吗?这是个了不起的念头，并且这里有一个新未知数：用什么办法能弄倒这挺使之磺跨小河。

如果我们接受帕扑斯的术语，这一串念头应称之为"分析"。如果这原始人成功地完成了他的分析，他可能就成为桥与斧头的发明人了。什么是综合?就是把念头化为行动。综合的最后一个行动是沿着一棵树走过小河。

解决实际问题

有一种广为流传的意见，即实际问题比数学问题需要更多的经验。这可能如此。但很可能，这种差别只存在于所需要知识的性质，而不是我们对问题的态度。在解决这样那样的问题时，我们必须依赖我们在处理类似问题方面的经验，我们经常问这个问题：你是否见过相同的问题，只是形式上稍有不同?你知道一个与此有关的问题吗?

你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?当我们处理纯数学问题时，我们不能放过这些问题。但在实际问题中，我们应当改变这些问题的形式：你是否利用了可能对求解有显著作用的所有数据?你是否利用了可能对求解显著影响的全部条件?我们估量一下现成可用的有关资料，如果必要的话，我们再去收集一些，但最终我们必定要停止收集，我们必会在某处划地为界不再越雷池一步，我们不能不忽略某些东西；

进展与成就

你有任何进展吗?主要成就是什么?在解题过程中，你可能问自己或者问一个你督促其功课的学生。这样，我们惯于或多或少满怀信心地判断具体情况下的进展与成就。为了解题，我们必须具备本论题方面的知识并且必须对我们现有的，但原来属于休眠状态的知识进行挑选并收集相关内容。我们对该问题的理解在问题结束时总比开始时要丰富得多；增加了些什么呢?从我们的记忆中，我们成功地汲取了什么呢?为了得到解答，我们必须回忆各式各样的基本事实。如果是个数学问题，则我们为了得到解答，必须回忆以前解答过的问题，已知的定理和定义。从我们的记忆中汲取这些有关内容可称之为"动员"。

工作进展的另一侧面是：概念变换的方式。收集了资料并进行加工以后，我们关于问题的概念在结束时比在开始时丰富得多了。由于我们想从初始的概念前进到一个更满足要求的、更适用的概念，我们可以尝试从不同的观点并从各个不同的侧面观察此问题。如果不"变化问题"，我们几乎不能有什么进展

1，困难的题目需要隐秘的、特殊的、独创的组合方式，解题者的才智在独创中显现出来。

2，成人也要学数学，欧洲人上班族很多学的。

3，心算，尽量少的用计算器，增加脑力，防止迟钝。

4，数学的灵魂在于思考

5，假如，以前基础的东西，你都掌握得很熟练，不用你操心了，你学数学的面貌会怎样。

6，数学家和学数学的人，是铸剑师和剑客的关系吗？

7，假如一个新的问题，无法用新的方法解决。那么，就只能用旧的方法解决了。而如果用旧的方法不能直接解决，那么只能改变新的问题为旧的问题，或者把旧的问题加以改变，以适应新的问题。

8，能否把解题当成一种挑战。

9，不要怕麻烦，慢慢来。不要着急，慢慢来，学数学的人都是慢性子。

10，闲着没事，就做些最基本的题目吧。

11，假如有一个目标，你要登到哪里，需要很多的台阶，你可以一步步的爬上去，但是，如果感觉很困难，你肯定和以前的知识失去了联系

12，人在休息的时候，思维容易发散。

13，学数学，如同走迷宫，仅仅是错误常识的探索是不够的，还要总结归纳，找到规律。

14，遇到难题，思维要发散开，至少，要提出多种解决方案。

15，学数学，狼的哲学，1，信心2，转，发现机会3，穷追不舍4，试探，试验

16，把题目的条件，写一写，列一列

17，不要坐在那里发呆，要动动手，尝试一下。

18，我整体的看看这一部分如何

19，倒着推导，倒着干

20，你些最基本的技术你熟悉马

21，看到它，我想到什么？

22，在你能力范围之内的，绞尽脑汁吧。

23，人无法一下子弄明白一个公式定理。（如同打麦场，你无法一下子碾下所有的粒子）

24，数学灶，-------思维的连续聚焦和广博

25，just do it

26，做题，探索，有时候，要靠较好的运气

27，分析问题，step by step , one by one

28，画一个草图

29，主动学习，爱数学，爱思考。

30，塑造浪漫，不妨对一道你认为不会做的难题，列出所有可能，做他一天，直到思考出来为止。

31，数学教授对数学的理解，往往是，看吧，直到把这道题看穿。

32,,解一道复杂的难题，往往要比容易题花费更多的时间，这提醒我们，如果我们对难题投入更多的时候，就怎加了解决的希望。