ADC信噪比计算公式

#ADC信噪比计算公式

信噪比计算公式：SNRADC=6.02+1.76SNR_{ADC}=6.02+1.76SNRADC=6.02+1.76
上面的公式是我们经常见到的ADC信噪比计算公式，至于公式为什么而来，度娘虽然给出了一些解答，但是这些解答支离破碎，有些问题细节并不丰富，最近在读书的过程中发现书中一章对于该问题的描述以及讲解及其详细，下面只做简单介绍，作为对其他公开资料的补充，有兴趣的同学请自行翻阅该著作（12.5 & C.1）。

##信噪比
信噪比的定义为信号功率比噪声功率，由于自然空间的信号衰减呈指数倍，所以通常所遇到的功率也都是通过相对比值进行表示的，因此信噪比也通常通过分贝dB来表示。
信噪比定义：
SNR=10⋅lg⁡PsignalPnoiseSNR=10\cdot\lg\frac{P_{signal}}{P_{noise}}SNR=10⋅lgPnoisePsignal
对于本文所讨论的ADC信噪比同样适用，这里适用一个概念，即：
P=k⋅V2P=k\cdot V^2P=k⋅V2
功率正比于电压，则可以信噪比公式可以简化成
SNR=10⋅lg⁡Vsignal2Vnoise2SNR=10\cdot\lg\frac{V_{signal}^2}{V_{noise}^2}SNR=10⋅lgVnoise2Vsignal2
##ADC信噪比
对于ADC来说，Vsignal2⇒σsignal2V_{signal}^2\Rightarrow\sigma_{signal}^2Vsignal2⇒σsignal2
从数学角度上来说，功率等价于电压信号的方差，对于此处心存疑惑的同学可以查阅上文提到的资料P486-488，经过上述的物理到数学概念的等价，可得到如下的公式：
SNR=10⋅lg⁡σsignal2σnoise2SNR=10\cdot\lg\frac{\sigma_{signal}^2}{\sigma_{noise}^2}SNR=10⋅lgσnoise2σsignal2
其中σnoise2\sigma_{noise}^2σnoise2为量化误差，对于量化误差的计算，《数字信号处理——基于计算机的方法（第四版）》当中有详细的描述，本文直接引用，感兴趣的同学请自行查阅。
σnoise2=2−2n(Rfullscale2)48\sigma_{noise}^2=\frac{2^{-2n}(R_{full scale}^2)}{48}σnoise2=482−2n(Rfullscale2)
带入SNR公式化简可得到：
SNR=10⋅lg⁡48⋅σsignal22−2n(Rfullscale2)SNR=10\cdot\lg\frac{48\cdot \sigma_{signal}^2}{2^{-2n}(R_{full scale}^2)}SNR=10⋅lg2−2n(Rfullscale2)48⋅σsignal2
=6.02n+16.81−20⋅lg⁡Rfullscaleσsignal=6.02n+16.81-20\cdot\lg\frac{R_{full scale}}{\sigma_{signal}}=6.02n+16.81−20⋅lgσsignalRfullscale
对于σsignal2\sigma_{signal}^2σsignal2，为输入信号的方差，在通常的ADC计算当中采用的几种不同信号，如果使用正弦信号计算，将得到本文开头所提到的信噪比公式，如果采用其他信号模型，则得到类似但是不同于文章开头的信噪比公式。假如我们使用均匀密度函数：
psignal(α)={1b−a,a⩽α⩽b0,othersp_{signal}(\alpha)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}, a\leqslant\alpha\leqslant b\\0,\ \ others\\ \end{cases}psignal(α)={b−a1,a⩽α⩽b0, others
该随机变量的方差为
σsignal2=(b−a)212\sigma_{signal}^2=\frac{(b-a)^2}{12}σsignal2=12(b−a)2
其中b-a即为ADC的满量程范围，即能够完成转换的电压信号范围
将上式带入到上文当中化简后的信噪比公式当中，得到对于均匀分布的输入信号来说，ADC的信噪比为
SNRuniformdensity=6.02n+16.81−20⋅lg⁡23SNR_{uniform\ density}=6.02n+16.81-20\cdot\lg2\sqrt{3}SNRuniform density=6.02n+16.81−20⋅lg23
=6.02⋅(n+1)=6.02\cdot(n+1)=6.02⋅(n+1)
与度娘所检索出的其他解释不通，该推导最终得出了类似但是不同的结果，这是因为所使用的输入信号概率模型不同，对于其他的确定的输入信号类型来说，也将会得到不同的信噪比结果，比如说正态分布，亦或者其他能够确定概率分布的输入信号类型。

最后，欢迎大家提出修改建议。

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