2021五一杯数学建模B题消防救援问题

消防救援问题
随着我国经济的高速发展，城市空间环境复杂性急剧上升，各种事故灾害频发，安全风险不断增大，消防救援队承担的任务也呈现多样化、复杂化的趋势。对于每一起出警事件，消防救援队都会对其进行详细的记录。
某地有15个区域，分别用A、B、C…表示，各区域位置关系及距离如图1所示，各区域的人口及面积见附件1，该地消防救援队出警数据见附件2。
请依据该地的消防出警数据，建立数学模型，完成以下问题：
问题1：将每天分为三个时间段（0:00-8:00为时段Ⅰ，8:00-16:00为时段Ⅱ，16:00-24:00为时段Ⅲ），每个时间段安排不少于5人值班。假设消防队每天有30人可安排值班，请根据附件数据，建立数学模型确定消防队在每年2月、5月、8月、11月中第一天的三个时间段各应安排多少人值班。
问题2：以该地2016年1月1日至2019年12月31日的数据为基础，以月份为单位，建立消防救援出警次数的预测模型；以2020年1月1日至2020年12月31日的数据作为模型的验证数据集，评价模型的准确性和稳定性，并对2021年各月份的消防救援出警次数进行预测，完成表1。
问题3：依据7种类别事件的发生时间，建立各类事件发生次数与月份关系的多种数学模型，以拟合度最优为评价标准，确定每类事件发生次数的最优模型。
问题4：根据图1，请建立数学模型，分析该地区2016-2020年各类事件密度在空间上的相关性，并且给出不同区域相关性最强的事件类别（事件密度指每周每平方公里内的事件发生次数）。
问题5：依据附件2，请建立数学模型，分析该地各类事件密度与人口密度之间的关系（人口密度指每平方公里内的人口数量）。
问题6：目前该地有两个消防站，分别位于区域J和区域N，请依据附件1和附件2，综合考虑各种因素，建立数学模型，确定如果新建1个消防站，应该建在哪个区域？如果在2021-2029年每隔3年新建1个消防站，则应依次建在哪些区域？

问题分析：

针对问题 1，关于确定人数值班问题，首先筛选并统计出 2020 年、2019 年、
2018 年、2017 年、2016 年的 2 月、5 月、8 月、11 月的第一天的三个时间段的出警次数，通过灰色预测方法得到每年的这 2 月、5 月、8 月、11 月这四个月第一天的三个时间段出警次数的预测数据。在对三个时间段各分配 5 人的基础上，根据每个
月第一天的三个时间段对应的权重比例对剩余 15 人进行合理分配，计算出人员分配的人数。
针对问题 2，我们引入 ARIMA 预测模型，利用差分法对数据进行平稳性处理，使得模型更加稳定和准确，对模型的检验我们采用平稳性 R 方与显著性检验。
针对问题 3，我们选用了插值拟合和 ARIMA 两种模型，以此来建立各类事件发生次数与月份的关系。

针对问题 4，我们首先绘制散点图判断出各类事件在空间上具有相关性，为了直观表示各指标在不同区域之间的相关性，采用皮尔逊系数进行直观展示。
针对问题 5，我们首先绘制散点图判断出人口密度与事件具有线性关系，由此可以采用灰色关联模型进行分析。
针对问题 6，选择消防站需要考虑的因素最多的就是平均出警距离，所以在本问题中我们选择出警距离作为建立消防站的唯一评判因素。利用 Dijkstra 算法计算各区域之间的最短距离，计算在区域 J 和区域 N 以外的 13 个区域新增一个消防站后的平均出警距离，取新增后平均出警距离最小的区域作为建消防站的区域。

模型的建立与求解：

针对问题 3，确定每类事件发生次数的最优模型。第一步：建立模型
先按照年份区分所有数据，观察发现数据基本无规律性，是属于随机事件。后决定采用插值与拟合和 ARIMA 预测模型，来建立各类事件发生次数与月份关系的数学模型，评价出拟合度最优的模型。

插值与拟合
先求出 5 年数据相对应月份的均值，再分别对 7 类事件进行拟合，采用三次样
条插值的方法，拟合效果如图 5 所示

问题求解时的部分程序代码：

第一问：

load &apos;xx.mat&apos; n=length(y); yy=ones(n,1);
yy(1)=y(1);
for i=2:n
yy(i)=yy(i-1)+y(i)
end
B=ones(n-1,2);
# 数据的计算逻辑
for i=1:(n-1)
B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2; B(i,2)=1;
end BT=B&apos;; for j=1:(n-1)YN(j)=y(j+1);
end YN=YN&apos;;
A=inv(BT*B)*BT*YN; a=A(1);
u=A(2);
t=u/a;
t_test=input(&apos;输入需要预测的个数&apos;); i=1:t_test+n;
yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t; yys(1)=y(1);
for j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1);
end x=1:n;
xs=2:n+t_test; yn=ys(2:n+t_test);
plot(x,y,&apos;^r&apos;,xs,yn,&apos;*-b&apos;); det=0;
for i=2:n
det=det+abs(yn(i)-y(i));
end det=det/(n-1);
disp([&apos;百分绝对误差为：&apos;,num2str(det),&apos;%&apos;]);
disp([&apos;预测值为：&apos;,num2str(ys(n+1:n+t_test))]);

第三问：

load(&apos;data_of_202151B.mat&apos;)PolicyTimes=[]; for i=2016:2020
for j=1:12index =intersect(find(Year==i),find(Month==j)); PolicyTimes=[PolicyTimes;i,j,length(index)];
end
end
%% 绘制图像
for i=2016:2020
plot(PolicyTimes(PolicyTimes(:,1)==i,2),PolicyTimes(PolicyTimes(:,1)==i,3),&apos;line width&apos;,3)
hold on grid on end
legend(&apos;2016&apos;,&apos;2017&apos;,&apos;2018&apos;,&apos;2019&apos;,& apos;2020&apos;,&apos;Location&apos;,&apos;Best&apos;);s = 12;
x = PolicyTimes(1:48,3)&apos;; n = 12;
m1 = length(x); for i = s+1:m1;
y(i-s) = x(i) - x(i-s);
end
w = diff(y);
m2 = 12;%length(2); k=0;
% for i = 0:5
%   for j = 0:5
%   if i == 0 & j == 0
%   continue
%   elseif i == 0
%   ToEstMd = arima(&apos;MALags&apos;,1:j,&apos;Constant&apos;,0);
%   elseif j == 0
%   ToEstMd = arima(&apos;ARLags&apos;,1:i,&apos;Constant&apos;,0);
%   else%   ToEstMd = arima(&apos;ARLags&apos;,1:i,&apos;MALags&apos;,1:j,&apos; Constant&apos;,0);
%   end
%   k = k + 1;
%   R(k) = i;
%   M(k) = j;
%   [EstMd,EstParamCov,LogL,info] = estimate(ToEstMd,w&apos;);
%   numParams = sum(any(EstParamCov));
%   [aic(k),bic(k)] = aicbic(LogL,numParams,m2);
%   end
% end
% fprintf(&apos;R,M,AIC,BIC 的对应值如下\n%f&apos;);
% check = [R&apos;,M&apos;,aic&apos;,bic&apos;]R=5; M=2;
ToEstMd = arima(&apos;ARLags&apos;,1:R,&apos;MALags&apos;,1:M,&apos;Consta nt&apos;,0);
[EstMd,EstParamCov,LogL,info] = estimate(ToEstMd,w&apos;); w_Forecast =  forecast(EstMd,n,&apos;Y0&apos;,w&apos;); yhat = y(end) + cumsum(w_Forecast);
for j = 1:n
x(m1 + j) = yhat(j) + x(m1+j-s);
endfprintf(&apos;2020 年各月份预测出警次数为&apos;); x(m1+1:end)hold on plot(1:12,x(m1+1:end),&apos;linewidth&apos;,3) axis([1 12 0 280])
legend(&apos;2016&apos;,&apos;2017&apos;,&apos;2018&apos;,&apos;2019&apos;,& apos;2020&apos;,&apos;2020predict&apos;,&apos;Location&apos;,&apos;Best&apos;);fprintf(&apos;各月份预测的准确性为&apos;);
Accuracy=(x(m1+1:end)-PolicyTimes(49:end,3)&apos;)./PolicyTimes(49:end,3)&apos;s2 = 12;
x2 = PolicyTimes(1:60,3)&apos;; n2 = 12;
m_2 = length(x2); for i = s2+1:m_2;y2(i-s2) = x2(i) - x2(i-s); end
w2 = diff(y2);R2=5; M2=2;
ToEstMd2 = arima(&apos;ARLags&apos;,1:R2,&apos;MALags&apos;,1:M2,&apos;Con stant&apos;,0);
[EstMd2,EstParamCov2,LogL2,info2] = estimate(ToEstMd2,w2&apos;); w_Forecast2 = forecast(EstMd2,n2,&apos;Y0&apos;,w2&apos;);
yhat2 = y2(end) + cumsum(w_Forecast2); for j = 1:n2
x2(m_2 + j) = yhat2(j) + x2(m_2+j-s2);
end
fprintf(&apos;2021 年各月份预测出警次数为&apos;); x2(m_2+1:end)%% 绘制图像
hold on plot(1:12,x2(m_2+1:end),&apos;linewidth&apos;,3)
legend(&apos;2016&apos;,&apos;2017&apos;,&apos;2018&apos;,&apos;2019&apos;,& apos;2020&apos;,&apos;2020predict&apos;,&apos;2021predict&apos;,&apos;Location &apos;,&apos;Best&apos;

第五问：

load(&apos;x.mat&apos;) x=x1;
for i=1:5
for j=1:9 x(i,j)=x(i,j)/x1(1,j) end
end x1=x
for i=1:5
for j=1:9 x(i,j)=abs(x(i,j)-x1(i,1)) end
end max=x(1,1) min=x(1,1) for i=1:5
for j=1:9 if x(i,j)>=max
max=x(i,j)
end
end end
for i=1:5
for j=1:9 if x(i,j)<=min
min=x(i,j)
end end
end
k=0.5 %分辨系数取值
l=(min+k*max)./(x+k*max)%求关联系数矩阵guanliandu=sum(l&apos;)/n [rs,rind]=sort(guanliandu,&apos;descend&apos;) %对关联度进行排序