高数 | 【多元函数微分学】多元函数求极限方法总结

一、多元函数极限的定义

存在的问题：有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同

用定义证明的例题选解

二、多元函数求极限的方法

1、利用极限性质（四则运算法则、夹逼准则）

夹逼准则：多是夹为0。有界函数放缩为固定值/常用不等式？去分母？

2、消去分母中极限为 0 的因子 —— 有理化，等价无穷小代换

3、有界函数x无穷小量=0

4、直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案

极坐标：都可以考虑极坐标！

注意！x和y次数相同！

整体替换化为一元函数：可以分拆，可以整体代换的重极限可以尝试。当变成一元函数那方法就多了，如：等价，洛必达，泰勒......

注意：多元函数洛必达教材没有，不可用！

1）初步判断：三次比二次 —— 极限应为 0

利用

注：本题若用极坐标，只是恰巧和答案求得结果一样，过程是错误的！！！

因为当 ρ 趋向于 0时，θ 也在变，牵扯到了一致性的问题，超出了考研要求。

2）

3）

三、多元函数的极限不存在

注意：

只能最多说明极限不存在，不能说明极限存在！

强行找几条路径认为存在是逻辑错误，因为路径根本找不完。

—— 沿两种不同路径极限不同。

四、利用多重积分定义求极限

原文见

多元函数求极限方法总结 - 知乎

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