数学建模常用模型10 :数据包络(DEA)分析法(投入产出法)
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数据包络分析模板
数据包络分析是评价多输入指标和多输出指标的较为有效的方法,将投入与产出进行比较。它的结果包含的意思有:
①θ=1,DEA有效,表示投入与产出比达到最优
②θ<1,非DEA有效,表示投入与产出比没有达到最优,一般来说,θ越大说明效果越好。
数据包络分析是通过对投入的指标和产出的指标做了一个线性规划,并且进行变换后,然后根据其线性规划的对偶问题(线性规划对偶问题具有经济学意义),求解这个对偶问题的最值就是θ。
数据包络分析(data envelopment analysis,DEA)是一个对多投入\多产出的多个决策单元的效率评价方法。是1978年由CHARNES和COOPER创建的。可广泛使用于业绩评价。
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统,这主要体现在以下几点:
- DEA以决策单位各输入/输出的权重为变量,从最有利于决策单元的角度进行评价,从而避免了确定各指标在优先意义下的权重;
- 假定每个输入都关联到一个或者多个输出,而且输入/输出之间确实存在某种关系,使用DEA方法则不必确定这种关系的显示表达式。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
例 利用DEA方法对天津市的可持续发展进行评价。在这里选取较具代表性的指标作为输入变量和输出变量,见表1。
表1 各决策单元输入、输出指标值
序号 |
决策 单元 |
政府财政收入占 GDP的比例/% |
环保投资占GDP 的比例/% |
每千人科技 人员数/人 |
人均GDP /元 |
城市环境 质量指数 |
1 |
1990 |
14.40 |
0.65 |
31.30 |
3621.00 |
0.00 |
2 |
1991 |
16.90 |
0.72 |
32.20 |
3943.00 |
0.09 |
3 |
1992 |
15.53 |
0.72 |
31.87 |
4086.67 |
0.07 |
4 |
1993 |
15.40 |
0.76 |
32.23 |
4904.67 |
0.13 |
5 |
1994 |
14.17 |
0.76 |
32.40 |
6311.67 |
0.37 |
6 |
1995 |
13.33 |
0.69 |
30.77 |
8173.33 |
0.59 |
7 |
1996 |
12.83 |
0.61 |
29.23 |
10236.00 |
0.51 |
8 |
1997 |
13.00 |
0.63 |
28.20 |
12094.33 |
0.44 |
9 |
1998 |
13.40 |
0.75 |
28.80 |
13603.33 |
0.58 |
10 |
1999 |
14.00 |
0.84 |
29.10 |
14841.00 |
1.00 |
输入变量:政府财政收入占GDP的比例、环保投资占GDP的比例、每千人科技人员数。输出变量:经济发展(用人均GDP表示)、环境发展(用城市环境质量指数表示;计算过程中,城市环境指数的数值作了归一化处理)。
MATLAB程序为:
clc,clear
format long
load('data.txt');%把原始数据保存在纯文本文件data.txt中
X=data(:,[1:3]);%X为输入变量,3为输入变量的个数
X=X';
Y=data(:,[4:5]);%Y为输出变量,5(3+2),2为输出变量的个数
Y=Y';
n=size(X',1);m=size(X,1);s=size(Y,1);
A=[-X' Y'];
b=zeros(n,1);
LB=zeros(m+s,1);UB=[];
for i=1:n;
f=[zeros(1,m) -Y(:,i)'];
Aeq=[X(:,i)',zeros(1,s)];beq=1;
w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
E(i,i)=Y(:,i)'*w(m+1:m+s,i);
end
theta=diag(E)';
fprintf('用DEA方法对此的相对评价结果为:\n');
disp(theta);
omega=w(1:m,:)
mu=w(m+1:m+s,:)
——————————————————————————————————
补充:
定义1 若线性规划问题的最优目标值theta=1,则称决策单元是弱DEA有效地。
定义2 若线性规划问题存在最优解omega>0,mu>0,并且其最优目标值theta=1,则称决策单元是DEA有效的。
从上述定义可以看出,所谓DEA有效,就是指那些决策单元,它们的投入产出比达到最大。因此,可以用DEA来对决策变量进行评价。
——————————————————————————————————
计算结果见表2,最优目标值用 表示。显而易见,该市在20世纪90年代的发展是朝着可持续方向前进的。
表2 用DEA方法对天津市可持续发展的相对评价结果
年份 |
结论 |
年份 |
结论 |
||
1990 |
0.2901843 |
非DEA有效 |
1995 |
0.7182609 |
非DEA有效,规模收益递增 |
1991 |
0.2853571 |
非DEA有效,规模收益递减 |
1996 |
0.9069108 |
非DEA有效,规模收益递增 |
1992 |
0.2968261 |
非DEA有效,规模收益递增 |
1997 |
1 |
DEA有效,规模收益递增 |
1992 |
0.3425151 |
非DEA有效,规模收益递增 |
1998 |
1 |
DEA有效,规模收益不变 |
1994 |
0.4594712 |
非DEA有效,规模收益递增 |
1999 |
1 |
DEA有效,规模收益不变 |
后面三个不是1,只是非常接进1,实际运算结果见下图:
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