三种绘制奈奎斯特曲线的方法

如何绘制奈奎斯特曲线

①解析法绘制
②*概略图法绘制*
③MATLAB绘制

①解析法绘制

以开环传递函数
G(s)H(s)=1s+2G\left( s \right) H\left( s \right) =\frac{1}{s+2} G(s)H(s)=s+21为例

令s=jw

得到开环系统的频率特性G(jw)H(jw)=1jw+2G\left( jw \right) H\left( jw \right) =\frac{1}{jw+2} G(jw)H(jw)=jw+21将实部和虚部分开化为：24+w2−w4+w2j\frac{2}{4+w^2}-\frac{w}{4+w^2}j 4+w22−4+w2wj

这是一个复变函数，令w在(0,+∞)上增大，在复数域中列表、描点、连线即可得到对应的Nyquist曲线：

（解析法虽精确，但过于繁琐，不适用于实践）

箭头方向即为w增大的方向，因为Nyquist曲线关于实轴对称，所以一般只绘制w从 0 变化至 +∞ 的Nyquist曲线

②概略图法绘制

以G(s)H(s)=1s(s+1)(s+3)G\left( s \right) H\left( s \right) =\frac{1}{s\left( s+1 \right) \left( s+3 \right)} G(s)H(s)=s(s+1)(s+3)1为例，以下分为五个步骤

将开环传递函数进行典型环节分解，并令s=jw，得：
G(jw)H(jw)=13⋅1jw(jw+1)(13jw+1)G\left( jw \right) H\left( jw \right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{jw\left( jw+1 \right) \left( \frac{1}{3}jw+1 \right)} G(jw)H(jw)=31⋅jw(jw+1)(31jw+1)1
求w=0+起点的幅值和相位
由G(jw)H(jw)=A(w)ejφ(w)G\left( jw \right) H\left( jw \right) =A\left( w \right) e^{j\varphi \left( w \right)} G(jw)H(jw)=A(w)ejφ(w)我们可以知道，复变函数相乘，其幅值相乘，相角相叠加

当w=0+：G(jw)H(jw)=13⋅1jw∣w=0+G\left( jw \right) H\left( jw \right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{jw}\mid_{w=0+}^{} G(jw)H(jw)=31⋅jw1∣w=0+A(w)=∞A\left( w \right) =\infty A(w)=∞φ(w)=0°−90°=−90°\varphi \left( w \right) =0°-90°=-90° φ(w)=0°−90°=−90°可得，起点在第三象限虚轴左侧的位置

为什么这里不是右侧呢？
因为在原频率特性中还有(jw+1)这样的项，在w=0+时，有一个很小的正角度，使得最后的φ(w)的绝对值实际上大于90°

求w=+∞终点的幅值和相位

当w=+∞：G(jw)H(jw)=13⋅1jw(jw+1)(13jw+1)∣w=+∞G\left( jw \right) H\left( jw \right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{jw\left( jw+1 \right) \left( \frac{1}{3}jw+1 \right)}\mid_{w=+\infty}^{} G(jw)H(jw)=31⋅jw(jw+1)(31jw+1)1∣w=+∞A(w)=0A\left( w \right) =0 A(w)=0φ(w)=0°+(0°−(90°+90°+90°))=−270°\varphi \left( w \right) =0°+\left( 0°-\left( 90°+90°+90° \right) \right) =-270° φ(w)=0°+(0°−(90°+90°+90°))=−270°可得，终点在第二象限靠近原点的位置

为什么这里不是右侧呢？
因为在原频率特性中还有(jw+1)这样的项，在w=0+时，有一个很小的正角度，使得最后的φ(w)的绝对值实际上大于90°

求曲线与虚轴的交点
令频率特性中实部为0，求出自变量频率w的值，再代入到频率特性的虚部中，即可求得与虚轴交点
求曲线与实轴的交点
令频率特性中虚部为0，求出自变量频率w的值，再代入到频率特性的实部中，即可求得与实轴交点

但在本例中可以省略步骤4、5
jw、(jw+1)、(1/3jw+1)，三者对应的相角范围为：90°、(0,90°)、(0,90°)，所以φ(w) ϵ (−90°,−270°)，所以Nyquist曲线只在二、三象限，其与虚轴没有交点，与实轴的交点在负半轴。(概略图只需交点的大致位置即可)

画出大致图形

③MATLAB绘制

利用MATALB中nyquist函数绘制

以开环传递函数G(s)H(s)=
12s2+5s+2\frac{1}{2s^2+5s+2} 2s2+5s+21
为例
运行如下程序得到其nyquist曲线

num=1;
den=[2 5 2];
G1=tf(num,den);
nyquist(G1);

运行结果：

nyquist函数默认的是绘制w在负无穷到正无穷的图像，若只要绘制w在0+到正无穷的图像可参考以下代码

num=1;
den=[2 5 2];
G1=tf(num,den);
[Re,Im]=nyquist(G1);
X = squeeze(Re);
Y = squeeze(Im);
plot(X,Y);
xlim([-10,0]);

运行结果：