任一矩阵都可表为一对称矩阵和反称矩阵之和

定义： 矩阵 AAA 称为反称的，如果 AT=−AA^T=-AAT=−A
定理： 任一 n×nn\times nn×n 矩阵都可表为一对称矩阵和反称矩阵之和
证明：
A=12A+12A=12(A−AT)+12(A+AT)\begin{aligned} A&=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}A\\ &=\frac{1}{2}(A-A^T)+\frac{1}{2}(A+A^T)\\ \end{aligned}A=21A+21A=21(A−AT)+21(A+AT)
下证明：(A−AT)T(A-A^T)^T(A−AT)T 是反称矩阵，(A+AT)T(A+A^T)^T(A+AT)T 是对称矩阵
(A−AT)T=AT−A=−(A−AT)(A+AT)T=AT+A=A+AT\begin{aligned} (A-A^T)^T&=A^T-A=-(A-A^T)\\ (A+A^T)^T&=A^T+A=A+A^T \end{aligned}(A−AT)T(A+AT)T=AT−A=−(A−AT)=AT+A=A+AT
证毕

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