现代通信原理2.2：信号时间平均算子与信号物理参数

文章目录

1、时间平均算子定义
2、确定信号的物理参数
- （1）直流分量
- （2）瞬时功率、平均功率与归一化功率
- （3）归一化（总）能量
- （4）均方根值(Root-Mean-Square, RMS)
- （5）分贝（Decibel）

1、时间平均算子定义

对于确定信号，在进一步定义它的基本参数之前，我们需要先定义一种数学运算，或者叫做算子，我们称为时间平均算子。它的定义式如下：
[⋅]‾=lim⁡T→∞1T∫−T2T2[⋅]dt.\overline{[\cdot]}=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[\cdot]dt. [⋅]=T→∞limT1∫−2T2T[⋅]dt.其实时间平均算子就是求信号在整个时间轴上的平均值大小。举例来说，对于信号c(t)=Accos⁡(2πfct+θc)c(t)=A_c\cos(2\pi f_ct+\theta_c)c(t)=Accos(2πfct+θc)，它的平均值为多少呢？
c(t)‾=lim⁡T→∞1T∫−T2T2c(t)dt=lim⁡T→∞1T∫−T2T2Accos⁡(2πfct+θc)dt=lim⁡N→∞Ac2NTc∑n=−NN∫(n−1)Tc2(n+1)Tc2cos⁡(2πfct+θc)dt=lim⁡N→∞Ac2NTc⋅2πfc∑n=−NNsin⁡(2πfct+θc)dt∣(n−1)Tc2(n+1)Tc2=0.\begin{aligned} \overline{c(t)}&=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}c(t)dt\\ &=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}A_c\cos(2\pi f_ct+\theta_c)dt\\ &=\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{A_c}{2NT_c}\sum_{n=-N}^{N}\int_{\frac{(n-1)T_c}{2}}^{\frac{(n+1)T_c}{2}}\cos(2\pi f_ct+\theta_c)dt\\ &=\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{A_c}{2NT_c\cdot 2\pi f_c}\sum_{n=-N}^{N}\sin(2\pi f_ct+\theta_c)dt|_{\frac{(n-1)T_c}{2}}^{\frac{(n+1)T_c}{2}}\\ &=0. \end{aligned} c(t)=T→∞limT1∫−2T2Tc(t)dt=T→∞limT1∫−2T2TAccos(2πfct+θc)dt=N→∞lim2NTcAcn=−N∑N∫2(n−1)Tc2(n+1)Tccos(2πfct+θc)dt=N→∞lim2NTc⋅2πfcAcn=−N∑Nsin(2πfct+θc)dt∣2(n−1)Tc2(n+1)Tc=0.上式中 Tc=1/fcT_c=1/f_cTc=1/fc。所以三角函数信号，不论初始相位 θc\theta_cθc为多少，它的时间平均都等于零，这一点从图形上也很容易看出来，因为正负半个周期正好抵消。
大家一定要好好理解时间平均算子，因为它是分析确定信号时最常用的处理。
在随机变量部分，我们还会再回顾一种平均算子，称为集合平均。大家学过概率论，应该不难理解，它是用来求统计平均的。所以同样是求平均，时间平均算子是在时间上求，集合平均算子是在随机实验的样本上求，要理解二者区别。
有了时间平均算子的概念，下面我们来定义几个信号的物理参数。

2、确定信号的物理参数

（1）直流分量

对于信号g(t)g(t)g(t)，它的直流分量为
g(t)‾=lim⁡T→∞1T∫−T2T2g(t)dt,\overline{g(t)}=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)dt, g(t)=T→∞limT1∫−2T2Tg(t)dt,显然，信号的直流分量就是对其信号波形求时间平均。进一步，如果g(t)g(t)g(t)为周期等于T0T_0T0的周期信号，我们有
g(t)‾=∫−T02T02g(t)dt.\overline{g(t)}=\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}g(t)dt. g(t)=∫−2T02T0g(t)dt.

（2）瞬时功率、平均功率与归一化功率

如果阻值为RRR的电阻上的电压和电流分别为v(t)v(t)v(t)和i(t)i(t)i(t)，我们可以求得在时刻ttt的瞬时功率为
p(t)=v(t)i(t)=v2(t)/R=i2(t)R.p(t)=v(t)i(t)=v^2(t)/R=i^2(t)R. p(t)=v(t)i(t)=v2(t)/R=i2(t)R.显然，瞬时功率是时间ttt的函数。如果要求得平均功率，就需要对瞬时功率求时间平均，即平均功率
P=p(t)‾=v(t)i(t)‾=v2(t)/R‾=i2(t)R‾.P=\overline{p(t)}=\overline{v(t)i(t)}=\overline{v^2(t)/R}=\overline{i^2(t)R}. P=p(t)=v(t)i(t)=v2(t)/R=i2(t)R.由于功率表达式中带了阻值RRR，我们觉得很不方便，更重要的是如果RRR 不同，比较两个不同信号的功率就没有意义，所以我们引入了归一化的概念。可以理解为考虑1欧姆电阻上功率的消耗，或者每单位电阻(欧姆)上功率的消耗，由此可以得到归一化瞬时功率或者平均功率
p(t)=w2(t)P=w2(t)‾,\begin{aligned} &p(t)=w^2(t)\\ &P=\overline{w^2(t)}, \end{aligned} p(t)=w2(t)P=w2(t),这里的w(t)w(t)w(t)为电阻上的电压或者电流信号，由于R=1ΩR=1\OmegaR=1Ω，二者是相同的。以后如果不加说明，我们讨论的都是归一化功率。

（3）归一化（总）能量

归一化（总）能量是把瞬时（归一化）功率进行积分，换句话说，就是把整个时间轴上消耗的所有功率叠加起来，就是消耗的总能量了。这里的归一化，还是指考虑单位电阻上的情况。归一化（总）能量表达式如下
E=lim⁡T→∞∫−T2T2w2(t)dt.{\mathcal E}=\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}w^2(t)dt. E=T→∞lim∫−2T2Tw2(t)dt.

（4）均方根值(Root-Mean-Square, RMS)

均方根值就是平均信号功率的平方根，w(t)w(t)w(t)的均方根值定义如下
WRMS=P=p(t)‾=w2(t)‾.W_{\rm RMS}=\sqrt{P}=\sqrt{\overline{p(t)}}=\sqrt{\overline{w^2(t)}}. WRMS=P=p(t)=w2(t).

（5）分贝（Decibel）

分贝（decibel）是量度两个相同单位之间数量比例的计量单位，在通信系统里面常常用来度量两个不同信号之间功率的比例大小。如果我们有两个信号，其平均功率分别为P1=1000WP_1=1000{\rm W}P1=1000W和P2=10WP_2=10{\rm W}P2=10W，则它们的功率比为G=P1P2=100G=\frac{P_1}{P_2}=100G=P2P1=100，换成分贝表示则为
GdB=10×lg⁡G=10×lg⁡(P1P2)=20dB.G_{\rm dB}=10\times \lg G=10\times \lg (\frac{P_1}{P_2})=20{\rm dB}. GdB=10×lgG=10×lg(P2P1)=20dB.这里的GGG和GdBG_{\rm dB}GdB分别为功率比的线性表示和分贝表示，显然有G=10GdB/10G=10^{G_{\rm dB}/10}G=10GdB/10。下面我们先来看三个分贝应用的例子，再来说说为什么要引入分贝这种表示方法。
第一个例子是用来度量电路系统的功率增益大小。

应用1：度量电路系统的功率增益
如果我们有一个电路系统，其输入功率为PinP_{\rm in}Pin，输出功率为PoutP_{\rm out}Pout，则定义该电路系统的功率增益为
G=PoutPin,G=\frac{P_{\rm out}}{P_{\rm in}}, G=PinPout,其对数表示为
(1)GdB=10lg⁡(PoutPin).\tag{1} G_{\rm dB}=10\lg \left( \frac{P_{\rm out}}{P_{\rm in}}\right). GdB=10lg(PinPout).(1)若输入、输出信号功率分别为10mW和2W，则有G_{\rm dB}=23.3dB。进一步我们有
Pin=win,RMS2P_{\rm in}=w^2_{\rm in,RMS}Pin=win,RMS2，Pout=wout,RMS2P_{\rm out}=w^2_{\rm out,RMS}Pout=wout,RMS2，这里的win,RMSw_{\rm in, RMS}win,RMS和wout,RMSw_{\rm out,RMS}wout,RMS分别为输入、输出信号的均方根值（有效值），因此有
(2)GdB=20lg⁡(wout,RMSwin,RMS).\tag{2} G_{\rm dB}=20\lg \left( \frac{w_{\rm out,RMS}}{w_{\rm in,RMS}}\right). GdB=20lg(win,RMSwout,RMS).(2)注意，很多同学分不清楚求分贝的时候应该乘以10还是20。请好好理解下公式（1）和（2）的区别。

第二个例子无线信号传输中的路径损耗。

应用2：度量路径损耗
我们把无线信号在空间中传输时由传播环境引起的信号功率的衰减称为路径损耗。若发射机发送信号功率为PTP_{\rm T}PT，接收机的接收信号功率为PRP_{\rm R}PR，则路径损耗定义为
PL=PRPT,P_{\rm L}=\frac{P_{\rm R}}{P_{\rm T}}, PL=PTPR,用分贝可以表示为
PL=10lg⁡(PRPT).P_{\rm L}=10\lg\left (\frac{P_{\rm R}}{P_{\rm T}}\right). PL=10lg(PTPR).如果发送、接收信号功率分别为1W和0.01mW，则PL=−50P_{\rm L}=-50PL=−50dB。

第三个例子度量信噪比。

应用3：度量信号与噪声的功率比
若信号r(t)=s(t)+n(t)r(t)=s(t)+n(t)r(t)=s(t)+n(t)，其中s(t)s(t)s(t)为有用信号，n(t)n(t)n(t)为加性噪声，我们常常用信号功率与噪声功率的比值，即信噪比(signal to noise ratio, SNR)来定义信号r(t)r(t)r(t)的质量。显然SNR越大，信号质量越好。我们在图1中给出了不同信噪比的波形的示例。因此，可以定义信噪比为
SNR=PSPN=s2(t)‾n2(t)‾,{\rm SNR}=\frac{P_S}{P_N}=\frac{\overline{s^2(t)}}{\overline{n^2(t)}}, SNR=PNPS=n2(t)s2(t),其分贝表示为
SNRdB=10lg⁡(PSPN)=20lg⁡(sRMSnRMS),{\rm SNR_{dB}}=10\lg\left(\frac{P_{\rm S}}{P_{\rm N}}\right)=20\lg\left(\frac{s_{\rm RMS}}{n_{\rm RMS}}\right), SNRdB=10lg(PNPS)=20lg(nRMSsRMS),这里sRMSs_{\rm RMS}sRMS及nRMSn_{\rm RMS}nRMS分别为s(t)s(t)s(t)和n(t)n(t)n(t)的均方根值（有效值）。

图1 信噪比对信号质量的影响示例

第四个例子度量绝对电平。

应用4：基于某个参考电平值来度量某绝对电平
尽管分贝是用来表示相对比值关系的，但事实上也可以用来表示绝对电平。要做到这一点，我们就需要找到一个参照值，通过求与这个参照值的关系来定义绝对值。例如常用的dBm，就是选取1mW作为参照值。因此，若信号功率为PPP(watts)，则用dBm表示为
PdBm=10lg⁡[Pwatts10−3]=30+10lg⁡(Pwatts).P_{\rm dBm}=10\lg\left[ \frac{P_{\rm watts}}{10^{-3}}\right]=30+10\lg(P_{\rm watts}). PdBm=10lg[10−3Pwatts]=30+10lg(Pwatts).
【例】对于安卓系统手机，进入选项：设置>关于手机>状态消息>网络>信号强度，就可以看到网络的信号强度。如果我在家里看到的信号强度是-97dBm，那么对应是多少瓦？
30+10lg⁡[Pwatts]=−97Pwatts=10−12.7(watts).\begin{aligned} &30+10\lg[P_{\rm watts}]=-97\\ &P_{\rm watts}=10^{-12.7}\rm (watts). \end{aligned}30+10lg[Pwatts]=−97Pwatts=10−12.7(watts).

从上面的例子里可以看出，用分贝来表示的好处一般来说有三点。一是数值变小，读写方便。电子系统的总放大倍数常常是几千、几万甚至几十万，一架收音机从天线收到的信号至送入喇叭放音输出，一共要放大2万倍左右，用分贝表示则是43.3dB。第二是运算方便。放大器级联时，总的放大倍数是各级相乘。用分贝做单位时，总增益就是相加。第三，分贝最初应用在声学中，符合听感，估算方便。人听到声音的响度是与功率的相对增长呈正相关的。例如，当电功率从0.1瓦增长到1.1瓦时，听到的声音就响了很多；而从1瓦增强到2瓦时，响度就差不太多；再从10瓦增强到11瓦时，没有人能听出响度的差别来。如果用功率的绝对值表示都是1瓦，而用增益表示分别为10.4dB，3dB和0.4dB，这就能比较一致地反映出人耳听到的响度差别了。在通信系统的信噪比里也有这样的特点。