2.4广义不等式

正常锥与广义不等式
最小元和极小元

正常锥

一个锥K是正常锥需要满足以下几个条件：

K是凸的
K是闭的
K是实的，具有非空内部
K是尖的，不包含直线

广义不等式

用正常锥可以定义广义不等式，即 $R^n$ 上的偏序关系。

$x\preceq _{K}y\Leftrightarrow y-x \in K$

严格偏序关系:

$x\prec _{K} y\Leftrightarrow y-x\in int\, K$

当 $K=R_+$ 时，这种偏序关系也就是R上实际的 $\leqslant$

例子：分量不等式： $K=R_+^n\, ,X\preceq Y\Leftrightarrow x_i\leqslant y_i, i = 1\cdots n$

矩阵不等式: $K=S_+,X\preceq Y \Leftrightarrow Y-X\in S_+$ ，半正定。

广义不等式的性质：

对于加法保序： $x\preceq_K y,u\preceq_K v\Rightarrow x+u\preceq_K y+v$
传递性： $x\preceq_K y,y\preceq_K z\Rightarrow x\preceq_K z$
非负数乘保序性： $x\preceq_K y,a\geq 0\Rightarrow ax\preceq_K ay$
自反的： $x\preceq_K x$
反对称的： $if x\preceq_K y,y\preceq _K x\Leftrightarrow x=y$
极限运算保序： $i=1,2\cdots ,x_i\preceq_K y_i,i\rightarrow \infty ,x_i\rightarrow x,y_i\rightarrow y\, \, \Rightarrow x\preceq_K y$

最小元和极小元

在介绍极小元和最小元之前，先说明“可比较”的概念，广义不等式中的偏序关系比普通意义的不等式更复杂，在实数域，任意两个数都可比较，但是在广义不等式就未必行得通，比如分量不等式，两个向量x,y，如果x<y，则要求x的每一个分量都小于y的对应分量，如果 $x=\left (1,2 \right )^T,y=(2,1)^T$ ，x和y就是不可比较的。

最小元

最小元： $\forall y\in S$ 都有 $x\preceq_K y$ 且 $x\in S$ ，则x是S的最小元。

且x是S的最小元，当且仅当 $S\subseteqq x+K$ ，x+K表示与x是可比较的（即可以与x相比）并且大于等于x的所有元素。

极小元

极小元； $if y\in S,y\preceq_K x\Rightarrow y=x$ ，则x是S的极小元。

x是S的极小元当且仅当 $(x-K)\cap S=\left\{x\right \}$ ，x-K表示与x是可比较的（即可以与x相比）并且小于x的所有元素。

以 $K=R_+^2$ 为例，下图，分别展示了其最小元和极小元

上图 $x_1$ 为集合 $S_1$ 的最小元，在 $K=R_+^2$ 中， $x\preceq_K y \Leftrightarrow x_1\leq y_1,x_2\leq y_2$ ，以第一分量做水平坐标轴，第二分量做垂直坐标轴， $x\preceq_K y$ 在几何上可以看成是y在x的右上方，即上图浅色阴影区域，同时可以看出 $S\subseteqq x+K$ 。

上图展示了 $S_2$ 的极小元 $x_2$ ，首先可以看出 $S_2$ 中的点并不是全部都与 $x_2$ 可比较，但在 $S_2$ 中与 $x_2$ 可比较的全部的点中， $x_2$ 最小。

综上两图可以发现S中最小元m和极小元l的异同。

最小元m可与S中全部元素相比较，极小元l不与S中的全部元素可比较（将S中可与极小元l比较的元素集合记为C）。
m在S中最小，l在C中最小。

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