控制理论个人学习笔记-非线性系统理论
文章目录
- 非线性系统理论
- 非线性系统的一般概念
- 相平面基础
- 非线性系统的相平面分析
- 描述函数法基础
- 非线性系统的描述函数法分析
非线性系统理论
非线性系统的一般概念
典型非线性
死区
饱和
间隙
摩擦
继电特性
继电特性使得系统产生振荡,死区使得系统存在稳态误差,饱和使得系统的开环增益在饱和区下降,间隙降低系统的跟踪精度,摩擦造成系统低速运动的不平滑性。
非线性系统的运动特点:稳定性;运动形式;自激振荡;频率响应
稳定性
非线性系统稳定性不仅与系统结构参数有关,而且与输入信号和初始条件有关(这是线性系统稳定性不要考虑的)。
运动形式
线性系统在任何初始偏移下的时间响应曲线都具有相同的形式,非线性系统则不然。当初始偏移变化以后,其时间响应曲线可以发生很大变化,可能由原来的振荡收敛形式变为非周期形式,甚至出现发散的情况。
自激振荡
对于非线性系统,由于振荡的振幅将受到非线性特性的限制,即使没有受到外界作用,也可能产生一定频率和振幅的稳态振荡。有时要避免,有时要利用。
频率响应
又称正弦稳态响应。对于非线性系统,输入信号是正弦信号时,其稳态输出通常是含有高次谐波分量的非正弦周期函数。
非线性系统所研究的问题及方法
主要研究自激振荡问题和利用非线性特性改善系统性能。
分析方法有:
相平面法——推广时域分析方法的一种图解分析法;
描述函数法——本质一次谐波近似法;
逆系统法——运用内环非线性反馈控制,构成伪线性系统,设计外环控制网络。
相平面基础
- 相平面、相点、相轨迹
- 相轨迹的绘制方法
- 相轨迹的特点
- 线性系统的相轨迹
- 由相轨迹求某个过程所用时间
非线性系统的相平面分析
非线性系统的相轨迹
极限环
若非线性系统的相轨迹在相平面图上表现为一个孤立的封闭曲线,所有附近的相轨迹都渐进地趋向或离开整个封闭的曲线,这个封闭曲线被称为极限环。
相轨迹的跳跃
开关线变化对运动性能的影响
有外作用时相轨迹的研究
描述函数法基础
谐波线性化
描述函数的定义
描述函数NNN定义为==非线性输出的基波分量与输入正弦量的复数比==
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 12: N=\frac{Y_1\̲a̲n̲g̲\phi_1}{X\ang0}
典型非线性特性的描述函数
- 计算在x=Xsin(ωt)x=Xsin(\omega t)x=Xsin(ωt)作用下的输出波形y(t)y(t)y(t)
- 计算y(t)y(t)y(t)的Fourier级数,找到A1A_1A1和B1B_1B1 基波分量y1(t)=A1cos(ωt)+B1sin(ωt)y_1(t)=A_1cos(\omega t)+B_1sin(\omega t)y1(t)=A1cos(ωt)+B1sin(ωt) 写成复数形式Y1cos(ωt+ϕ1)Y_1cos(\omega t+\phi_1)Y1cos(ωt+ϕ1)
- KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 12: N=\frac{Y_1\̲a̲n̲g̲ ̲\phi_1}{X\ang0}
描述函数法的物理意义
线性环节的频率特性函数与输入信号振幅无关,
非线性环节的描述函数是输入信号幅值的函数N(A)N(A)N(A)。
非线性系统的描述函数法分析
可以证明,描述函数法是非线性特性在均方差意义下的最优逼近。
描述函数法的应用前提 (注意!!!)——或者说描述函数法合理性的简单论证
设非线性系统经过变换和归化,可表示为非线性部分NNN和线性部分G相串联的典型反馈结构。
描述函数法基于这样的假设,即当系统处于自激振荡时,非线性部分和线性部分的输入、输出均为同频率的正弦信号。在这种条件下,非线性部分的特性可用描述函数表示,线性部分的特性可用频率特性表示,从而建立起非线性系统自振时的理论模型。
自振是由非线性系统内部自发的持续振荡,和外作用无关。假设自振时非线性部分的输入端为正弦信号x(t)=Xsin(ωt)x(t)=Xsin(\omega t)x(t)=Xsin(ωt) ,其输出除基波分量外,还有高次谐波分量。一般,高次谐波的振幅较基波振幅小,而在通过线性部分之后,由于线性部分的低通滤波效应,将使高次谐波分量进一步衰减,致使线性部分的输出可以认为只是基波分量的响应。
综上所述,应用描述函数法分析非线性系统的前提是:
- 非线性特性具有奇对称性;(保证输出不含直流分量)
- 非线性系统可以归化为图9-5的典型结构;
- 非线性部分输出y(t)y(t)y(t)中的基波分量最强; (这样的话近似就显得合理)
- 线性部分G(jω)G(j\omega)G(jω)的低通滤波效应较好。
周期运动解与自激振荡
稳定性分析
定义一个非线性系统是稳定的:本来在平衡位置,在受到扰动后,能够恢复原来的平衡位置
非线性系统是不稳定的:本来在平衡位置,受到扰动后,其输出将偏离,不能复原原来的平衡位置
介于稳定与不稳定之间的状态就是临界状态,周期运动解就是一种临界状态。
- 结构规化问题——即化简为典型结构的方法
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