【阵列信号处理02--基本概念、窄带信号、均匀线阵接收模型】

1、复信号的表示

实际信号只存在实信号，不存在复信号。

那么什么时候用实信号？什么时候用复信号呢？
—实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号。

实信号如何转换为复信号

采用复信号表示法不仅可以节省频带资源，同时方便计算，而且由于复信号的实部和虚部正好与接收机中的同相支路（I）和正交支路（Q）相对应，所以在系统中采用复信号表示法。

补充理解：
低通（LP）信号：信号包含的主要频率处于包括直流（DC）在内的低频频带；
带通（BP）信号：信号包含的主要频率处于离开原点的某个频率附近。

一个实带通信号s(t)s(t)s(t)在数学上可以表示为：
s(t)=r(t)cos[2πf0t+ϕx(t)]s(t)=r(t)cos[2πf_0t+\phi_x(t)]s(t)=r(t)cos[2πf0t+ϕx(t)]
其中，r(t)r(t)r(t)是幅度调制或包络，ϕx(t)\phi_x(t)ϕx(t)为相位调制，调制频率为fm(t)=12πdϕx(t)dtf_m(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\phi_x(t)}{\mathrm{d}t}fm(t)=2π1dtdϕx(t)，f0(t)f_0(t)f0(t)是载波频率。

s(t)s(t)s(t)也可以用两个称为正交分量的低通信号表示：
s(t)=I(t)cos⁡2πf0t−Q(t)sin⁡2πf0ts(t)=I(t)cos⁡2πf_0t-Q(t)sin⁡2πf_0t s(t)=I(t)cos⁡2πf0t−Q(t)sin⁡2πf0t
其中，I(t)=r(t)cosϕx(t)I(t)=r(t)cos\phi_x(t)I(t)=r(t)cosϕx(t)，Q(t)=r(t)sinϕx(t)Q(t)=r(t)sin\phi_x(t)Q(t)=r(t)sinϕx(t)

发射机所发射的信号形态-【正交上变频系统】：

其中I(t)I(t)I(t)与Q(t)Q(t)Q(t)是正交基带信号，I(t)I(t)I(t)为信号同相部分(In-phase)，Q(t)Q(t)Q(t)为信号正交部分(quadrature)，数字正交上变频系统的输出s(t)s(t)s(t)包含了信号的同相部分和正交部分，即包含了信号的幅度信息和相位信息，便于后续的信号处理。
接收机所接收的信号形态-【正交下变频系统】：

2、基本概念补充

2.1 载波：在通信技术上，载波(carrier wave, carrier signal或carrier)是由振荡器产生并在通讯信道上传输的电波，载波或者载频(载波频率)是一个物理概念，是一个特定频率的无线电波，单位是Hz，是一种在频率、幅度或相位方面被调制以传输语言、音频、图象或其它信号的电磁波。载波频率通常比输入信号的频率高，属于高频信号，输入信号调制到一个高频载波上，就好像搭乘了一列高铁或一架飞机一样，然后再被发射和接收。因此，载波是传送信息(话音和数据)的物理基础和承载工具。

2.2 调制(modulation)：对信号源的信息进行处理加到载波上，使其变为适合于信道传输的形式，就是使载波随信号而改变的技术。

2.3 零中频：将载频变频为零。正交下变频得到的就是零中频信号。
传统的调制解调方式是无线电信号RF(射频)进入天线，转换为IF(中频)，再转换为基带(I、Q信号)；
零中频就是信号直接由RF变到基带，不经过中频的调制解调方法。

2.4 平面波（plane wave）：传播时波面（即波的等相面）为平面的电磁波，实际中并不存在平面波。

2.5 相干时间：信道保持恒定的最大时间差范围，发射端的同一信号在相干时间之内到达接收端，信号的衰落特性完全相似，接收端认为是一个信号。

2.6 相干带宽：表征多径信道特性的一个重要参数，是指某一特定的频率范围，在该频率范围内的任意两个频率分量都具有很强的幅度相关性，即在相干带宽范围内，多径信道具有恒定的增益和线性相位。

通常，相干带宽近似等于最大多径时延的倒数.

3、窄带信号的定义

根据信号带宽的不同，可将信号分为窄带信号和宽带信号。窄带信号与宽带信号的定义是相对的，没有一个非常严格的界限，一般认为不符合窄带信号条件的就是宽带信号。根据侧重内容不同，窄带信号由如下三种定义，满足其中之一，就可视为是窄带信号，否则为宽带信号。

假设信号为s(t)s(t)s(t)，其所对应的频谱为S(f)S(f)S(f)

定义1：相对带宽定义
WB/f0<1/10W_B/f_0<1/10WB/f0<1/10
其中，WBW_BWB为信号带宽，f0f_0f0为信号的中心频率:
WB=∫−∞∞f∣S(f)∣2df∫−∞∞∣S(f)∣2dfW_B=\sqrt{\frac{ \int_{-\infty}^{\infty} f{\left|S(f)\right|}^2\, df}{\int_{-\infty}^{\infty} {\left|S(f)\right|}^2\, df}}WB=∫−∞∞∣S(f)∣2df∫−∞∞f∣S(f)∣2df
f0=∫−∞∞f∣S(f)∣2df∫−∞∞∣S(f)∣2dff_0=\frac{ \int_{-\infty}^{\infty} f{\left|S(f)\right|}^2\, df}{\int_{-\infty}^{\infty} {\left|S(f)\right|}^2\, df}f0=∫−∞∞∣S(f)∣2df∫−∞∞f∣S(f)∣2df
定义1是指，窄带信号的带宽WBW_BWB与其中心频率f0f_0f0相比可以忽略。
定义2：相对阵列定义
(M−1)dc≪1WB\frac{(M-1)d}{c} \ll \frac{1}{W_B}c(M−1)d≪WB1
其中，MMM为阵元数目，ddd为阵元间距，ccc为信号在媒介中的传播速度。
定义2是指，在阵列信号处理中，窄带信号掠过阵列孔径的最大传播时间远远小于信号带宽的倒数。
定义3：相对速度定义
2Vdc≪1T⋅WB\frac{2V_d}{c}\ll\frac{1}{T\cdot W_B}c2Vd≪T⋅WB1
其中，VdV_dVd是信号相对于阵列的径向运动速度，TTT为信号的有效时宽：
T=∫−∞∞t2∣s(t)∣2dt∫−∞∞∣s(t)∣2dtT=\sqrt{\frac{ \int_{-\infty}^{\infty} t^2{\left|s(t)\right|}^2\, dt}{\int_{-\infty}^{\infty} {\left|s(t)\right|}^2\, dt}}T=∫−∞∞∣s(t)∣2dt∫−∞∞t2∣s(t)∣2dt
T⋅WBT\cdot W_BT⋅WB是信号的时宽带宽积。
定义3是指，在信号与阵列存在相对运动的系统中，在信号的持续时间TTT内相对于信号的距离分辨力，若目标没有明显的移动，即目标为慢起伏的，则信号可视为是窄带的，否则为宽带的。

4、均匀线阵接收模型

假设接收信号满足窄带条件，根据窄带信号定义2，即信号经过阵列长度所需要的时间应远远小于信号的相干时间，信号包络在天线阵传播时间内变化不大，即可认为s(t+Δτ)=s(t)s(t+\Delta\tau) =s(t)s(t+Δτ)=s(t)。为简化，假定信源和天线阵列在同一平面内，并且入射到天线阵为平面波，如图所示

其中，θ\thetaθ为来波方向，ddd为阵元间距.
一般要求d≤λ2d\leq\frac{\lambda}{2}d≤2λ ∥\rVert∥因为相位测量只能测量[0,2π][0,2\pi][0,2π]范围之内，即要求∣2πdsinθλ∣≤π⇒2πdλ≤π⇒d≤λ2\begin{vmatrix} \frac{2\pi d sin\theta}{\lambda} \end{vmatrix}\leq\pi\Rightarrow\frac{2\pi d}{\lambda}\leq\pi\Rightarrow d\leq\frac{\lambda}{2}∣∣λ2πdsinθ∣∣≤π⇒λ2πd≤π⇒d≤2λ

x1(t)=s(t)ej2πf0tx_1(t)=s(t)e^{j2πf_0t}x1(t)=s(t)ej2πf0t
x2(t)=x1(t+Δτ)=s(t+Δτ)ej2πf0(t+Δτ)x_2(t)=x_1(t+\Delta\tau)=s(t+\Delta\tau)e^{j2πf_0(t+\Delta\tau)}x2(t)=x1(t+Δτ)=s(t+Δτ)ej2πf0(t+Δτ)
…\dots…
xN(t)=x1[t+(N−1)Δτ]=s[t+(N−1)Δτ]ej2πf0[t+(N−1)Δτ)]x_N(t)=x_1[t+(N-1)\Delta\tau]=s[t+(N-1)\Delta\tau]e^{j2πf_0[t+(N-1)\Delta\tau)]}xN(t)=x1[t+(N−1)Δτ]=s[t+(N−1)Δτ]ej2πf0[t+(N−1)Δτ)]
满足窄带假设
可以简化为
x1(t)=s(t)ej2πf0tx_1(t)=s(t)e^{j2πf_0t}x1(t)=s(t)ej2πf0t
x2(t)=s(t)ej2πf0tej2πdsinθλx_2(t)=s(t)e^{j2πf_0t}e^{\frac{j2πdsin\theta}{\lambda}}x2(t)=s(t)ej2πf0teλj2πdsinθ
…\dots…
xN(t)=s(t)ej2πf0tej2π(N−1)dsinθλx_N(t)=s(t)e^{j2πf_0t}e^{\frac{j2π(N-1)dsin\theta}{\lambda}}xN(t)=s(t)ej2πf0teλj2π(N−1)dsinθ

那么对于单个辐射源，阵列接收信号
X(t)=[x1(t)x2(t)⋯xN(t)]X(t)=\begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ \cdots\\ x_N(t)\\ \end{bmatrix}X(t)=⎣⎢⎢⎡x1(t)x2(t)⋯xN(t)⎦⎥⎥⎤=s(t)ej2πf0t[1ej2πdsinθλ⋯ej2π(N−1)dsinθλ]=s(t)e^{j2πf_0t}\begin{bmatrix} 1\\ e^{\frac{j2πdsin\theta}{\lambda}}\\ \cdots\\ e^{\frac{j2π(N-1)dsin\theta}{\lambda}}\\ \end{bmatrix}=s(t)ej2πf0t⎣⎢⎢⎡1eλj2πdsinθ⋯eλj2π(N−1)dsinθ⎦⎥⎥⎤（零中频变频后）⇒a⃗(θ)s(t)\Rightarrow\vec{a}(\theta)s(t)⇒a(θ)s(t)，
其中，a⃗(θ)\vec{a}(\theta)a(θ)叫作导向矢量，为N×1N×1N×1的矩阵

推广至多个辐射源（θ1,θ2,⋯,θk\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_kθ1,θ2,⋯,θk）
X(t)=a⃗(θ1)s1(t)+a⃗(θ2)s2(t)+⋯+a⃗(θk)sk(t)=[a⃗(θ1)a⃗(θ2)⋯a⃗(θk)][s1(t)s2(t)⋯sk(t)]=A(θ)S(k)\begin{aligned}X(t)&=\vec{a}(\theta_1)s_1(t)+\vec{a}(\theta_2)s_2(t)+\cdots+\vec{a}(\theta_k)s_k(t) =\begin{bmatrix} \vec{a}(\theta_1) & \vec{a}(\theta_2) & \cdots & \vec{a}(\theta_k) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1(t)\\ s_2(t)\\ \cdots \\ s_k(t)\\ \end{bmatrix}\\ &=A(\theta)S(k) \end{aligned}X(t)=a(θ1)s1(t)+a(θ2)s2(t)+⋯+a(θk)sk(t)=[a(θ1)a(θ2)⋯a(θk)]⎣⎢⎢⎡s1(t)s2(t)⋯sk(t)⎦⎥⎥⎤=A(θ)S(k)
其中，A(θ)为N×k的矩阵，S(k)为k×1的矩阵A(\theta)为N×k的矩阵，S(k)为k×1的矩阵A(θ)为N×k的矩阵，S(k)为k×1的矩阵

考虑到噪声影响，n(t)=[n1(t)n2(t)⋯nN(t)]n(t)=\begin{bmatrix} n_1(t)\\ n_2(t)\\ \cdots \\ n_N(t)\\ \end{bmatrix}n(t)=⎣⎢⎢⎡n1(t)n2(t)⋯nN(t)⎦⎥⎥⎤
均匀线阵接收信号模型为X(t)=A(θ)S(k)+n(t)X(t)=A(\theta)S(k)+n(t)X(t)=A(θ)S(k)+n(t)