程序员数学(12)--全等三角形
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本文目录
- 1. 全等形
- 2. 全等三角形
- 3. 三角形全等的判定
- 4. 角平分线的性质
1. 全等形
形状、大小完全相等的图形，称为全等形。
研究全等形的性质和判定两个图形全等，是几何学研究的重点，同样对现实生活有着重要的意义。
2. 全等三角形
通过旋转、平移等手段，能够完全重合的两个三角形，称为全等三角形。
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点称为对应订单，重合的边称为对应边，如下图AB和DE是对应边，角A和角D是对应角。
上面两个三角形全等，可记为：
由全等三角形的定义，很容易得出全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
3. 三角形全等的判定
判定规则1：三边分别相等的两个三角形全等，简写为边边边或SSS。这个还是比较好理解的，三条边长度都确定了，三角形就固定下来了。
判定规则2：两边和他们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写为边角边或SAS。这个更加好理解，两个三角形角重合，从这个角出发的两条边一样长，所以这两个三角形肯定是完全重合的。
判定规则3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写为角边角或ASA。理解的话，先固定一个边，然后两边角度都相同，则两边的交点应该也在一个位置，所以两个三角形应该是完全重合的。
判定规则4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为角角边或AAS。证明如下：
如下图，已知角A=角D，角B=角E，且BC=EF，求证两个三角形全等。
证明：
- 因为角A=角D且角B=角E，且三角形内角和180度，所以角C=角F
- 又因角B=角E
- 所以三角形ABC全等于三角形DEF(角角边)
判定规则5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称斜边、直角边或HL。这个可以按下图理解：
4. 角平分线的性质
性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，下面证明之，如下图：
AB是角CAD的平分线，B是平分线上一点，BC、BD分别是点B到AC、AD的距离，求证BC=BD。
- 因为AB是角平分线，所以角CAB=角DAB
- 因为AB是公共边，所以AB=AB
- 因为BC、BD是点到边的距离，所以角ACB=角ADB=90度。
- 所以三角形ACB全等于三角形ADB(角角边)
求证：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，还是如上图。
已知BC=BD，且BC垂直于AC，BD垂直于AD，求证角CAB=角DAB。
- BC=BD
- AB是公共边
- 三角形CAB和DAB是直角三角形
- 两个三角形全等（直角边、斜边）
- 角CAB=角DAB
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