题目大意

一个没有前导零的 n n位数，一共有mm个约束，形如将数看作字符串，子串 [l1,r1] [l1,r1]与 [l2,r2] [l2,r2]相等。
求可能的数的个数，结果模 1000000007 1000000007。

1≤n,m≤105 1\le n,m\le 10^5

题目分析

可以发现约束其实就是一些对应位置相等的限制，我们使用并查集，采用最暴力方法合并，时间复杂度为 O(nm) \mathrm O(nm)。如果最后一共剩下 cnt cnt个集合，如果某个集合不包含第一位，那么它肯定有 10 10种取值，否则只有 9 9种。那么答案就是9×10cnt−19\times10^{cnt-1}（当然 n=1 n=1时答案为 10 10）。
我们考虑使用 STi,j \mathrm{ST}_{i,j}表来优化合并。另 STi,j \mathrm{ST}_{i,j}表示区间 [i,i+2j−1] [i,i+2^j-1]所在的集合。一开始每一个 STi,j \mathrm{ST}_{i,j}都单独一个集合。那么一个约束，就可以转化为 log2n log_2n个集合的相等关系，我们将这些集合一一合并即可。
然后我们就按 j j从大到小的顺序进行集合合并，令STi,j\mathrm{ST}_{i,j}所在集合的父亲为 k k，那么将STi,j\mathrm{ST}_{i,j}的左右两个子区间分别与 k k的左右两个子区间合并。做完后STi,0\mathrm {ST}_{i,0}就是位置 i i所在集合，那么统计答案就很容易了。
注意我们要判断该集合是否包含位置11，处理方法有很多种。这里我是强行将编号大的合并到编号小的位置，那么包含 1 1的集合顶肯定是11。
总的时间复杂度 O(nα(n)log2n) O(n\alpha(n)log_2n)。

代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>using namespace std;int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while (!isdigit(ch)){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}const int P=1000000007;
const int N=100500;
const int LGN=17;int sta[N*LGN],fa[N*LGN];
int n,m,tot,ans;
int ST[N][LGN];int getfather(int son){return fa[son]==son?son:fa[son]=getfather(fa[son]);}void merge(int l1,int l2,int j)
{int f1=getfather(ST[l1][j]),f2=getfather(ST[l2][j]);if (f1>f2) swap(f1,f2);if (f1!=f2)fa[f2]=f1;
}int main()
{freopen("cutie.in","r",stdin);freopen("cutie.out","w",stdout);n=read(),m=read();if (n==1)printf("10\n");else{for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=0;i+(1<<j)-1<=n;j++)ST[i][j]=++tot,sta[tot]=i,fa[tot]=tot;for (int i=1,l1,r1,l2,r2;i<=m;i++){l1=read(),r1=read(),l2=read(),r2=read();for (int j=LGN-1;j>=0;j--)if (l1+(1<<j)-1<=r1){merge(l1,l2,j);l1+=1<<j,l2+=1<<j;}}for (int j=LGN-1;j>=1;j--)for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){int f=getfather(ST[i][j]),i0=sta[f];merge(i0,i,j-1),merge(i0+(1<<j-1),i+(1<<j-1),j-1);}ans=1;for (int i=1;i<=n;i++)if (fa[ST[i][0]]==ST[i][0])ans=ans*1ll*(i==1?9:10)%P;printf("%d\n",ans);}fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}

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