前言

还记得浦丰投针实验吗？

浦丰所进行的是一个概率实验（Probability experiment），这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）。而蒙特卡罗（Monte Carlo）是世界著名的“赌城”，世界三大赌城之一（美国超级赌城拉斯维加斯与号称东方拉斯维加斯的中国澳门）。事实上还有拉斯维加斯方法（本文不涉及）。

本文将通过几个案例解释蒙特卡罗方法的原理和应用。

案例一

往正方形区域D={(x,y):x∈[−1,1],y∈[−1,1]}内生成随机点，在单位圆区域C={(x,y):x2+y2≤1}内的点和点的总数之比近似为~pi/4。随着实验样本总数的改变，结果越来越精确，不加证明的给出此例中增加一位小数精度需使用100倍的样本数。MATLAB实现如下：

①绘制图形

x=[1,-1,-1,1,1];
y=[1,1,-1,-1,1];%将正方体的角连起来
t=linspace(0,2*pi,1000);
x1=cos(t);y1=sin(t);
plot(x,y,x1,y1);
legend('square','circle')
title('Square inscribed circle')
axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);

②生成随机点列

xt=unifrnd(-1,1,[n,1]);%testblock&times
yt=unifrnd(-1,1,[n,1]);

③筛选计数

k=0;
for i=1:nif (xt(i,1)^2+yt(i,1)^2)<=1k=k+1;scatter(xt(i,1),yt(i,1),'r*')elsescatter(xt(i,1),yt(i,1),'b*')end
end
p=4*k/n;%估计值
e=p-pi;%误差

④精度分析

案例二

Monte Carlo method 对维数并不敏感，可被用来计算多重积分。左图是计算球的面积

x=[1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,-1,-1,1];
y=[-1,-1,1,1,-1,-1,-1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,1];
z=[1,-1,-1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1];
plot3(x,y,z);%绘制正方体
axis([-1.5,1.5,-1.5,1.5,-1.5,1.5]);
hold on;
n=5000;
[x1,y1,z1]=sphere(50);%绘制球体
mesh(x1,y1,z1);
title('Cube inscribed sphere');
xt=unifrnd(-1,1,[n,1]);%testblock&times
yt=unifrnd(-1,1,[n,1]);
zt=unifrnd(-1,1,[n,1]);
k=0;
for i=1:nif (xt(i)^2+yt(i)^2+zt(i)^2)<=1scatter3(xt(i),yt(i),zt(i),'r*')k=k+1;elsescatter3(xt(i),yt(i),zt(i),'b*')end
end
p=k/n*6;
e=p-pi;

案例三

下面利用Monte Carlo method求解浦丰投针问题:

考虑针的中点x位置，不妨设,a是平行线簇的间距，设针与平行线所成角度为，则当针与线相交时，,针落在线上的概率为，再利用Monte Carlo方法计算积分值即知

为方便计算，取

plot([0,pi],[1,1],'linewidth',2);
t=linspace(0,pi,1000);
y=0.5*sin(t);
hold on
plot(t,y);
n=10000;
x1=unifrnd(0,pi,[n,1]);
y1=unifrnd(0,1,[n,1]);
k=0;
for i=1:nif y1(i)<0.5*sin(x1(i))k=k+1;scatter(x1(i),y1(i),'r*')elsescatter(x1(i),y1(i),'b*')end
end
axis([0,pi,0,1]);
p=n/k;
e=p-pi;

总结

案例一，二是Monte Carlo method在二维，三维的应用，没有本质差别（维数对Monte Carlo method影响很小），案例三是先用数学方法从概率实验中抽离出待求式再通过Monte Carlo method计算。而Monte Carlo 的缺点也很明显：1.对于确定性问题需要转化成随机性问题。2.误差是概率误差。3.通常需要较多的计算步数N.

阿白数模笔记之蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）相关推荐

【Matlab 六自由度机器人】基于蒙特卡罗方法(Monte Carlo Method)构建机器人工作空间（附MATLAB建模仿真完整代码）
[Matlab 六自由度机器人]基于蒙特卡洛法构建工作空间往期回顾前言正文一.蒙特卡洛方法及机器人工作空间的概述 1. 蒙特卡洛法 2. 机器人工作空间二.rand函数的应用 1. rand ...
增强学习（四） ----- 蒙特卡罗方法(Monte Carlo Methods)
1. 蒙特卡罗方法的基本思想蒙特卡罗方法又叫统计模拟方法,它使用随机数(或伪随机数)来解决计算的问题,是一类重要的数值计算方法.该方法的名字来源于世界著名的赌城蒙特卡罗,而蒙特卡罗方法正是以概率为基 ...
阿白数模笔记之灰色-马尔科夫模型（Grey Markov model）
目录前言(preface) GM(1,1) 简介(brief introdution) ①级比检验(Grade ratio test) ②建立GM(1,1)模型 Ⅰ.邻值生成序列(Adjacent ...
java计算椭圆的面积_java算法3_蒙特卡洛方法(Monte Carlo method)求PI和椭圆面积
蒙特卡洛方法,是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法.是指使用随机数来解决很多计算问题的方法.蒙特卡洛方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙特卡洛,该城市以×××业闻名,而蒙特卡洛方法正是 ...
数模笔记（三）：灰色系统分析方法
数模笔记(一):线性规划.整数规划及非线性规划数模笔记(二):层次分析法数模笔记(三):灰色系统分析方法数模笔记(四):插值与拟合数模笔记(五):变异系数法数模笔记(六):两变量相关性分析与 ...
Python数模笔记-Sklearn（5）支持向量机
支持向量机(Support vector machine, SVM)是一种二分类模型,是按有监督学习方式对数据进行二元分类的广义线性分类器. 支持向量机经常应用于模式识别问题,如人像识别.文本分类.手 ...
Python数模笔记-NetworkX（3）条件最短路径
1.带有条件约束的最短路径问题最短路径问题是图论中求两个顶点之间的最短路径问题,通常是求最短加权路径. 条件最短路径,指带有约束条件.限制条件的最短路径.例如,顶点约束,包括必经点或禁止点的限制:边 ...
Python数模笔记-NetworkX（2）最短路径
1.最短路径问题的常用算法最短路径问题是图论研究中的经典算法问题,用于计算图中一个顶点到另一个顶点的最短路径. 欢迎关注 Youcans 原创系列,每周更新数模笔记 Python数模笔记-PuLP库 ...
Python数模笔记-NetworkX（1）图的操作
1.NetworkX 图论与网络工具包 NetworkX 是基于 Python 语言的图论与复杂网络工具包,用于创建.操作和研究复杂网络的结构.动力学和功能. NetworkX 可以以标准和非标准的数 ...

阿白数模笔记之蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）

前言

案例一

①绘制图形

②生成随机点列

③筛选计数

④精度分析

案例二

案例三

总结

阿白数模笔记之蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）相关推荐

最新文章

热门文章