前言（preface）

GM(1,1)

简介(brief introdution)

①级比检验（Grade ratio test）

②建立GM(1,1)模型

Ⅰ、邻值生成序列（Adjacent value generating sequence ）

Ⅱ、回归分析（regression analysis）

Ⅲ、残差检验（Residual test）

Markov chain

① 转移概率矩阵（Transition probability matrix）

②状态分布向量(state vector)

③平稳分布向量(steady-state vector)

灰色马尔可夫模型（Grey Markov model）

①对y0建立GM(1,1)得到e1

Ⅰ、Grade ratio test

Ⅱ、Accumulative generation sequence

Ⅱ、Regression analysis&Residual test

②对abs(e1)建立GM(1,1)

Ⅰ、Grade ratio test

Ⅱ、Accumulative generation sequence

Ⅱ、Regression analysis&Residual test

③修正（revise）

Ⅰ、转移概率矩阵

Ⅱ、初始分布与预测

Ⅲ、修正效果

④总结（summary）

参考文章（Reference articles）

前言（preface）

在学习模拟退火算法时(Simulated Annealing，SA)发现了一个新名词——马尔科夫链（Markov chain）,所以就先学习了Markov chain的相关知识，本文主要介绍GM(1,1)，Markov chain，并将Grey Markov model应用到实例。

GM(1,1)

简介(brief introdution)

黑色未知，白色已知，而灰色是介于黑白之间的，意味着部分数据已知，而数据间有内在联系，但内在函数关系未知。GM(1,1)适用的情况大致满足以下条件：一、数据量少，二、短期预测，三、指数增长。下面是原数据和经过生成后的数据折线图，发现处理后的数据具有更明显的规律。

①级比检验（Grade ratio test）

%Grade ratio test
y0=[71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6];
[m,n]=size(y0);
k=0;
for i=2:n;a=y0(i-1)/y0(i);if exp(-2/(n+1))<a<exp(2/(n+1));k=k+1;end
end
if k==n-1disp('grey modle is vailable')
elsedisp('grey modle is invailable')
endoutput:
grey modle is vailable

②建立GM(1,1)模型

Ⅰ、邻值生成序列（Adjacent value generating sequence ）

%GM(1,1)
x=1986:1992;
y0=[71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6];plot(x,y0,'-ok','markerfacecolor','r','linewidth',2);
axis([1985,1993,60,80]);
title('某城市1986-1992交通噪声平均声级');grid on%累加生成数列
y1=zeros(size(y0));
for i=1:size(y0,2);y1(i)=sum(y0(1:i));
end
figure,plot(x,y1,'-ok','markerfacecolor','r','linewidth',2);
axis([1985,1993,60,600]);%均值生成数列
z1=zeros(size(y0));
for i=1:size(y0,2);if i==1;z1(i)=y1(i);elsez1(i)=(y1(i)+y1(i-1))*0.5;end
end
hold on
plot(x,z1,'-ok','markerfacecolor','r','linewidth',2);
axis([1985,1993,60,600]);
title('生成序列');
legend('累加生成序列','均值生成序列');grid on

Ⅱ、回归分析（regression analysis）

fit1=polyfit(y1,y0,1);%拟合的一次函数
a1=fit1(1);u1=fit1(2);
%prediction
y11=zeros([1,1+n]);%n=size(y(0),2)
%y11是拟合后的累加生成序列
%y01用来储存时间步的预测值，y01(k+1)=y11(k+1)-y11(k)
y01=[y0(1),zeros([1,n])];
for k=0:ny11(k+1)=(y0(1)+u1/a1)*exp(a1*k)-u1/a1; %求解微分方程后的函数if k~=0y01(k+1)=y11(k+1)-y11(k);end
endfigure,plot(x,y0,'b*-');hold on
plot([x,1993],y01,'ro--');axis([1985,1993,60,80]);grid on
legend('actual','pred');title('Accumulative generation sequence')

Ⅲ、残差检验（Residual test）

%Residual test
e1=abs((y0-y01(1,1:7)))./y0;
r11=length(e1(find(e1<0.1)));
r12=length(e1(find(e1<0.2)));
if r1==ndisp('The fitting effect of the model is very good')
elseif r2==ndisp('The fitting effect of the model is not bad' )
elsedisp('GM(1,1) is not suitable to solve this problem')
endoutput:
The fitting effect of the model is very good

Markov chain

① 转移概率矩阵（Transition probability matrix）

动态规划算法中有个概念叫状态转移方程，就是说从前面 t-1 时刻的状态到 t时刻的状态的实现方式。Markov chain中的转移概率矩阵定义类似：（t-1）时刻处于状态 i，转移到状态 j 的概率为，则，即每一行的和为1，称为转移概率矩阵

②状态分布向量(state vector)

,称为t时刻的状态分布向量，，一般取为给定的初始分布，,其中P是转移概率矩阵

③平稳分布向量(steady-state vector)

对于一般的Markov chain ,当 t 足够大时，状态分布向量会收敛于某一特殊向量，即平稳分布向量，满足，即是P特征值为 1 时对应的特征向量

灰色马尔可夫模型（Grey Markov model）

y0 是原始序列，y1是累加生成序列，y11是拟合后的累加生成序列，y01是对原时间步的预测

e1是一阶残差序列e1=(y0-y1）

①对y0建立GM(1,1)得到e1

Ⅰ、Grade ratio test

%级比检验 Grade ratio test
y0=d;
[m,n]=size(y0);
k=0;
for i=2:n;a=y0(i-1)/y0(i);if exp(-2/(n+1))<a<exp(2/(n+1));k=k+1;end
end
if k==n-1disp('grey modle is vailable')
elsedisp('grey modle is invailable')
end
output:
grey modle is vailable

Ⅱ、Accumulative generation sequence

%GM(1,1)
x=1:20;
plot(x,y0,'-ok','markerfacecolor','r','linewidth',2);
axis([1,22,20,40]);
title('20旬某超市的的营业额');grid on;legend('data');
xlabel('时间/旬（10天）');ylabel('营业额/万元')%累加生成数列
y1=zeros(size(y0));
for i=1:size(y0,2);y1(i)=sum(y0(1:i));
endfigure,plot(x,y1,'-ok','markerfacecolor','r','linewidth',2);
axis([1,22,0,600]);
grid on;legend('Accumulative generation sequence','location','northwest');
xlabel('时间/旬（10天）');ylabel('营业额/万元')

Ⅱ、Regression analysis&Residual test

fit1=polyfit(y1,y0,1);
a1=fit1(1);u1=fit1(2);
%prediction
y11=zeros([1,1+n]);%n=size(y(0),2)
%y11是拟合后的累加生成序列
%y01用来储存时间步的预测值，y01(k+1)=y11(k+1)-y11(k)
y01=[y0(1),zeros([1,n])];
for k=0:ny11(k+1)=(y0(1)+u1/a1)*exp(a1*k)-u1/a1;if k~=0y01(k+1)=y11(k+1)-y11(k);end
endfigure,plot(x,y0,'b*-');hold on
plot([x,21],y01,'ro--');axis([1,22,20,40]);grid on
legend('actual','Uncorrected GM(1,1)');title('Accumulative generation sequence')%Residual test
e1=y0-y01(1,1:n)
e2=abs(e1)./y0;
r1=length(e2(find(e2<0.1)));
r2=length(e2(find(e2<0.2)));
if r1==ndisp('The fitting effect of the model is very good')
elseif r2==ndisp('The fitting effect of the model is not bad' )
elsedisp('GM(1,1) is not suitable to solve this problem')
end

运行后的结果显示：The fitting effect of the model is not bad，但从预测图来看效果是非常差的，因此需要某种方法对GM(1,1)模型做出修正

②对abs(e1)建立GM(1,1)

代码与上面是基本一致的，只给出各步骤对应结果

Ⅰ、Grade ratio test

grey modle is vailable

Ⅱ、Accumulative generation sequence

Ⅱ、Regression analysis&Residual test

pred即为残差修正值，用e01储存GM(1,1)对e0的预测结果；y00为修正（corrected）的结果；，其中，

③修正（revise）

Ⅰ、转移概率矩阵

状态划分为正,负，计算后知

即为概率转移矩阵

Ⅱ、初始分布与预测

以最后一个残差为初始分布，若大于0，则，否则，预测之后 t 个时间步，则对应的状态分布为,若，则取，否则。

Ⅲ、修正效果

④总结（summary）

通过引入残差的GM(1,1)来修正误差，并采用Markov chain 预测残差和原data下一个时间步的值，通过状态分布向量预估正负号，再对数据进行修正。Grey Markov model 弥补了传统GM(1,1)对波动性和趋势性数据预测精度低的不足

参考文章（Reference articles）

灰色预测模型GM(1,1) 与例题分析

灰色-马尔可夫模型

简述马尔可夫链【通俗易懂】

马尔可夫链 (Markov Chains)

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前言（preface）

GM(1,1)

简介(brief introdution)

①级比检验（Grade ratio test）

②建立GM(1,1)模型

Ⅰ、邻值生成序列（Adjacent value generating sequence ）

Ⅱ、回归分析（regression analysis）

Ⅲ、残差检验（Residual test）

Markov chain

① 转移概率矩阵（Transition probability matrix）

②状态分布向量(state vector)

③平稳分布向量(steady-state vector)

灰色马尔可夫模型（Grey Markov model）

①对y0建立GM(1,1)得到e1

Ⅰ、Grade ratio test

Ⅱ、Accumulative generation sequence

Ⅱ、Regression analysis&Residual test

②对abs(e1)建立GM(1,1)

Ⅰ、Grade ratio test

Ⅱ、Accumulative generation sequence

Ⅱ、Regression analysis&Residual test

③修正（revise）

Ⅰ、转移概率矩阵

Ⅱ、初始分布与预测

Ⅲ、修正效果

④总结（summary）

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