为什么要数据归一化和归一化方法

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在喂给机器学习模型的数据中，对数据要进行归一化的处理。

为什么要进行归一化处理，下面从寻找最优解这个角度给出自己的看法。

例子

假定为预测房价的例子，自变量为面积，房间数两个，因变量为房价。

那么可以得到的公式为：

其中代表房间数，代表变量前面的系数。

其中代表面积，代表变量前面的系数。

首先我们祭出两张图代表数据是否均一化的最优解寻解过程。

未归一化：

归一化之后

为什么会出现上述两个图，并且它们分别代表什么意思。

我们在寻找最优解的过程也就是在使得损失函数值最小的theta1,theta2。

上述两幅图代码的是损失函数的等高线。

我们很容易看出，当数据没有归一化的时候，面积数的范围可以从0~1000，房间数的范围一般为0~10，可以看出面积数的取值范围远大于房间数。

影响

这样造成的影响就是在画损失函数的时候，

数据没有归一化的表达式，可以为：

造成图像的等高线为类似椭圆形状，最优解的寻优过程就是像下图所示：

而数据归一化之后，损失函数的表达式可以表示为：

其中变量的前面系数几乎一样，则图像的等高线为类似圆形形状，最优解的寻优过程像下图所示：

从上可以看出，数据归一化后，最优解的寻优过程明显会变得平缓，更容易正确的收敛到最优解。

这也是数据为什么要归一化的一个原因。

作用：对于不同的特征向量，比如年龄、购买量、购买额，在数值的量纲上相差十倍或者百千倍。如果不归一化处理，就不容易进行比较、求距离，模型参数和正确度精确度就会受影响，甚至得不出正确的结果。
举个例子：用梯度下降法求解最优解时，下图展示没有归一化和归一化处理两种情况下的求解过程。

左图表示没有归一化的求解过程；右图表示有归一化的处理过程。
X1、X2表示特征向量，数值区间分别为[0,2000]，[1,5].
图中蓝线为等高线，红色为梯度下降求解线，中心红点为最优解。
左图的Z字形为未归一化处理的梯度下降求解过程。
右图的1字形为归一化处理后的梯度下降求解过程。
对比可知，归一化处理后，等高线更圆，求解得到的梯度方向更能直指圆心，收敛速度更快，效率更高。
如果不归一化，不但收敛速度慢，很可能找不到最优解。

归一化除了能够提高求解速度，还可能提高计算精度。
比如：计算样本距离时，如果特征向量取值范围相差很大，如果不进行归一化处理，则值范围更大的特征向量对距离的影响更大，实际情况是，取值范围更小的特征向量对距离影响更大，这样的话，精度就会收到影响。

归一化常用方法
1、线性归一化函数（Min-Max Scaling）
x’ = (x-min(x))/(max(x)-min(x))
把原始数据取值转换到[0,1]之间。
实际使用时，不同样本集得到的max/min可能不同，造成归一化结果不稳定，从而使模型后续使用也不稳定。
可以经验值来代替max/min，比如人的年龄，max=100,min=0。避免不同样本集max/min的不同造成的模型偏差。
2、0均值标准化（Z-score standardization）
x’ = (x-u)/theta.
u为样本均值，theta为样本方差。
转换后的数值服从均值为0，方差为1的高斯正态分布。
应用场景：原始数据（近似）高斯分布。否则归一化后的效果会很差。
3、非线性归一化（Nonlinear Scaling）
包括对数log，指数e，正切等。
应用场景：数据分化比较大，有些很大，有些很小，可能用此方法将数值映射到一个比较小的范围进行处理。log(V，2),log(V,10).

小结：
1、对于需要求距离的分类、聚类、相似度、协方差等，数据符合或者近似符合高斯正态分布时，PCA降维时，常用0均值标准化，可以得到较好的效果。
2、对于其他情况，如果数据分化不是很大，可以用线性归一化处理。
3、如果数据分化很大，可以用非线性归一化处理。

参考文章
1、http://blog.csdn.net/zbc1090549839/article/details/44103801
2、http://www.open-open.com/lib/view/open1429697131932.html

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