小球间完全弹性斜碰（赋Python代码）

完全弹性斜碰：

本文讨论两个考虑质量的小球间完全弹性斜碰。

完全弹性正碰可直接通过动能定理和动量守恒即解决。

完全弹性斜碰稍微复杂一点，具体计算过程如下：

首先拿两小球记为A球和B球，A球B球属性有质量，速度大小，速度方向。

建立坐标系（后面会用到）：

1）以A球圆心为原点，以水平方向向右为X轴，逆时针偏转PI/2为Y轴，建立A坐标系。

2）以B球圆心为原点，以水平方向向右为X轴，逆时针偏装PI/2为Y轴，建立B坐标系。

3）以A球B球圆心连线为X轴，方向由A到B，逆时针偏装PI/2为Y轴，建立AB坐标系。

碰撞过程中涉及到的变量：（下文会逐一介绍）

angleA VA VAX VAY mA angleAB

angleNA VNA VNAX VNAY

anglePNA VPNA VPNAX VPNAY

angleZA VZA VZAX VZAY

angleB VB VBX VBY mB angleAB

angleNB VNB VNBX VNBY

anglePNB VPNB VPNBX VPNBY

angleZB VZB VZBX VZBY

碰撞的计算过程：

已知：A球和B球的初速度和方向。

angleA，VA，angleB，VB。

第零步：给变量改名。

第一步：求XAB的角度，即B相对于A的角度。

第二步：记录XAB坐标系中VB的角度，并求出XAB坐标系中X轴Y轴的分速度。

第三步：XAB坐标系中，Y轴速度不变，X轴速度满足完全弹性正碰。

第四步：合成新速度，并计算XAB中的角度。

第五步：转化为水平坐标系中的速度和角度。

第六步：赋值操作。

第零步：给变量改名（变量多改名便于记忆）

A球的运动方向记为angleA，速度大小记为VA。

A球在坐标系A中X轴的角度记为VAX = VA * cos（angleA）

A球在坐标系A中Y轴的角度记为VAY = VA * sin（angleA）

同理可得B球的angleB，VB，VBX，VBY。

第一步：求XAB坐标系X轴与水平方向的角度angleAB，并求出A球B球在XAB坐标系中的速度大小和方向

获得A球B球的圆心实际坐标positionA，positionB。【圆心坐标是个列表，存放球A相对与窗口左上角的坐标x和y】【注意，此坐标系X轴向右为正，Y轴向下为正】

圆心B相对于圆心A的坐标为（x，y）=（positionB[0] - positionA[0] , positionA[1] - positionB[1]）

【新建的坐标系与数学中的坐标系一样，而实际坐标所在坐标系X轴以右为正，Y轴以下为正，所以Y轴坐标应该反过来相减】

计算angleAB

cos（angleAB）= x / sqrt（x*x + y*y）

angleAB = arccos（ x / sqrt（x*x + y*y））【此时求出来到只是与水平方向的角度，并未考虑正向负向】

angleAB = arccos（ x / sqrt（x*x + y*y））* y / abs（y）【通过y的正负确定angle是顺时针偏转还是逆时针偏转，abs（）是求绝对值的函数】

第1.5步：为防止小球粘连，碰撞前调整两球位置【此步骤最后添加】

碰撞时理想状况下，是边缘与边缘相碰。

但实际上检测出来的碰撞大部分两小球已经有部分重叠了，则此时应该先将两向球反向移开，移动到边缘碰边缘即可。

具体过程详见后面的代码。

第二步：将A球B球的速度大小方向由各自坐标系中转化为在共同坐标系XAB中的速度大小和方向

在XAB坐标系中A球的新角度 angleNA = angleA - angleAB

在XAB坐标系中A球的新速度 VNA = VA

在XAB坐标系中A球的新X轴速度 VNAX = VNA * cos（angleNA）

在XAB坐标系中A球的新Y轴角度 VNAY = VNA * sin（angleNA）

同理可得

在XAB坐标系中B球的新角度 angleNB = angleB - angleAB

在XAB坐标系中B球的新速度 VNB = VB

在XAB坐标系中B球的新X轴速度 VNBX = VNB * cos（angleNB）

在XAB坐标系中B球的新Y轴角度 VNBY = VNB * sin（angleNB）

第三步：发生完全弹性斜碰时，在XAB坐标系中，两球Y轴速度不变，X轴速度满足完全弹性正碰。

计算碰撞后两球的新速度

碰撞后A球X轴的分速度 VPNAX = [ (mA - mB) * VNAX + 2 * mB * VNBX ] / (mA + mB)

碰撞后B球X轴的分速度 VPNBX = [ (mB - mA) * VNBX + 2 * mA * VNAX ] / (mA + mB)

碰撞后A球Y轴的分速度 VPNAY = VNAY

碰撞后B球Y轴的分速度 VPNBY = VNBY

第四步：合成两球的新速度，并计算当前两球在坐标系XAB中的角度。

A球碰撞后速度大小 VPNA = sqrt（VPNAX * VPNAX + VPNAY * VPNAY）

B球碰撞后速度大小 VPNB = sqrt（VPNBX * VPNBX + VPNBY * VPNBY）

A球碰撞后速度角度 anglePNA = arccos（VPNAX / VPNA）* VPNAY / abs（VPNAY）【公式由动能定理和动量守恒推导得出，此处省略推导过程】

B球碰撞后速度角度 anglePNB = arccos（VPNBX / VPNB）* VPNBY / abs（VPNBY）

第五步：将两球速度转化为各自坐标系中的速度

A球最终角度 angleZA = anglePNA + angleAB

A球最终速度 VZA = VPNA

A球最终X轴分速度 VZAX = VZA * cos（angleZA）

A球最终Y轴分速度 VZAY = VZA * sin（angleZA）* （-1）

【-1 的作用是转化为实际坐标系中的坐标，计算过程中的坐标系都是数学中常规的坐标系，而程序中实际坐标系是坐上方顶点为原点，向右为X，向下为Y，两个坐标系中Y轴是相反的，所以乘格 -1】

同理可得：

B球最终角度 angleZB = anglePNB + angleAB

B球最终速度 VZB = VPNB

B球最终X轴分速度 VZBX = VZB * cos（angleZB）

B球最终Y轴分速度 VZBY = VZB * sin（angleZB）* （-1）

第六步：赋值操作

将俩球的速度大小方向付给程序中的对象。【大功告成啦】

下面是碰撞部分的Python代码：

    # 碰撞函数def collide(self, collideBall, isChessman):# 第0步：转换变量名B = copy.copy(self)A = copy.copy(collideBall)angleB = B.angleVB     = B.velocity# VBX    = B.velocity_x# VBY    = -B.velocity_yMB     = B.massangleA = A.angleVA     = A.velocity# VAX    = A.velocity_x# VAY    = -A.velocity_yMA     = A.mass# 第1步：求 XAB 轴的角度，即 B 相对于 A 的角度positionA = collideBall.rect.left + collideBall.rect.width / 2, collideBall.rect.top  + collideBall.rect.height / 2 positionB = self.rect.left + self.rect.width / 2, self.rect.top  + self.rect.height / 2x = positionB[0] - positionA[0]y = positionA[1] - positionB[1]if x == 0 and y == 0:print("错误120:两球发生重叠!")angleAB = 0elif y != 0:angleAB = math.acos(  x  / math.sqrt(x ** 2 + y ** 2)) *   y  / math.fabs( y)# angleBA = math.acos((-x) / math.sqrt(x ** 2 + y ** 2)) * (-y) / math.fabs(-y)else:angleAB = math.acos(  x  / math.sqrt(x ** 2 + y ** 2))# angleBA = math.acos((-x) / math.sqrt(x ** 2 + y ** 2))# 第1.5步：为防止粘连现象，调整小球位置actualCenterDistance       = math.sqrt((self.rect.center[0] - collideBall.rect.center[0]) ** 2 + (self.rect.center[1] - collideBall.rect.center[1]) ** 2)idealCenterDistance        = self.radius + collideBall.radiusoneBallNeedMoveDistance    = (idealCenterDistance - actualCenterDistance) / 2selfBallNeedMoveDistance_x = oneBallNeedMoveDistance * math.cos(angleAB)selfBallNeedMoveDistance_y = oneBallNeedMoveDistance * math.sin(angleAB)self.centerPosition[0] += selfBallNeedMoveDistance_x * 2self.centerPosition[1] -= selfBallNeedMoveDistance_y * 2self.rect.center = self.centerPositionif isChessman:collideBall.centerPosition[0] -= selfBallNeedMoveDistance_xcollideBall.centerPosition[1]+= selfBallNeedMoveDistance_ycollideBall.rect.center = collideBall.centerPositionelse:self.centerPosition[0] += selfBallNeedMoveDistance_x * 2self.centerPosition[1] -= selfBallNeedMoveDistance_y * 2self.rect.center = self.centerPosition# 第2步：记录 XAB 坐标系中 VB VA 的角度#       并求出 XAB 坐标系中 X Y 轴的分速度angleNB = angleB - angleAB##if angleNB <= -math.pi:##    angleNB += 2 * math.piVNB  = VBVNBX = VNB * math.cos(angleNB)VNBY = VNB * math.sin(angleNB)angleNA = angleA - angleAB##if angleNA <= -math.pi:##    angleNA += 2 * math.piVNA  = VAVNAX = VNA * math.cos(angleNA)VNAY = VNA * math.sin(angleNA)# 第3步：XAB( 坐标系中，Y 轴速度不变，X 轴速度满足完全弹性正碰#       计算 X 轴上碰撞后的新速度VPNBX = ((MB - MA) * VNBX + 2 * MA * VNAX) / (MA + MB)VPNBY = VNBYVPNAX = ((MA - MB) * VNAX + 2 * MB * VNBX) / (MA + MB)VPNAY = VNAY# 第4步：合成碰撞后的新速度，并计算 XAB中的新角度VPNB = math.sqrt(VPNBX ** 2 + VPNBY ** 2)if VPNBX == 0 and VPNBY == 0:#print("错误121:碰撞后B新速度为0")anglePNB = 0elif VPNBY != 0:anglePNB = math.acos(VPNBX / VPNB) * VPNBY / math.fabs(VPNBY)else:anglePNB = math.acos(VPNBX / VPNB)VPNA = math.sqrt(VPNAX ** 2 + VPNAY ** 2)if VPNAX == 0 and VPNAY == 0:#print("错误122:碰撞后A新速度为0")anglePNA = 0elif VPNAY != 0:anglePNA = math.acos(VPNAX / VPNA) * VPNAY / math.fabs(VPNAY)else:anglePNA = math.acos(VPNAX / VPNA)# 第5步：将 XAB 坐标系转化为 XB XA 坐标系中的速度和角度angleZB = anglePNB + angleAB##if angleZB > math.pi:##    angleZB -= 2 * math.piVZB  = VPNBVZBX = VZB * math.cos(angleZB)VZBY = VZB * math.sin(angleZB)angleZA = anglePNA + angleAB##if angleZA > math.pi:##    angleZA -= 2 * math.piVZA  = VPNAVZAX = VZA * math.cos(angleZA)VZAY = VZA * math.sin(angleZA)# 第5.9步：检测角度范围，调整到(-pi, pi]if angleZA > math.pi:angleZA -= 2 * math.pielif angleZA <= -math.pi:angleZA += 2 * math.piif angleZB > math.pi:angleZB -= 2 * math.pielif angleZB <= -math.pi:angleZB += 2 * math.pi# 第6步：赋值操作self.angle      = angleZBself.velocity   = VZBself.velocity_x = VZBXself.velocity_y = -VZBYself.isCollide  = Trueif isChessman:collideBall.angle      = angleZAcollideBall.velocity   = VZAcollideBall.velocity_x = VZAXcollideBall.velocity_y = -VZAYcollideBall.isCollide  = True

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