[区间dp]涂色洛谷P4170

题目描述

假设你有一条长度为 5 的木板，初始时没有涂过任何颜色。你希望把它的 5 个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为 5 的字符串表示这个目标：RGBGR。

每次你可以把一段连续的木板涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。例如第一次把木板涂成 RRRRR，第二次涂成RGGGR，第三次涂成RGBGR，达到目标。

用尽量少的涂色次数达到目标。

输入格式

输入仅一行，包含一个长度为 n 的字符串，即涂色目标。字符串中的每个字符都是一个大写字母，不同的字母代表不同颜色，相同的字母代表相同颜色。

输出格式

仅一行，包含一个数，即最少的涂色次数。

输入输出样例

输入 #1

AAAAA

输出 #1

输入 #2

RGBGR

输出 #2

说明/提示

40% 的数据满足 1≤n≤10。

100% 的数据满足 1≤n≤50。

题意： 有一个长度为n的区间，每次可以选择一段连续子区间染色，求最少用多少次可以染成题目给出的颜色。

分析： 比较明显是个区间dp问题，先考虑长度为1的区间，这些区间染色次数一定是1。再考虑区间两端点是否相同，若两端点颜色相同，那么dp[l][r] = min(dp[l+1][r], dp[l][r-1])，这是因为涂当前区间所需次数一定大于等于涂子区间所需次数，而这里把子区间涂完色后可以顺便把端点处的涂上色，这次操作的花费相当于0，也就达到了最优的情况。若两端点颜色不同，则需要枚举中间点，把该区间分成两个区间进行涂色，这里只要不把一个整的染色区间拆成两部分就是最优的，而两端点不同时一定能枚举出这样的两区间，所以枚举中间点取两区间加和最小值就能得到正确答案。

具体代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
using namespace std;int n, dp[55][55];
string s;signed main()
{cin >> s;memset(dp, 0x3f, sizeof dp);n = s.size();for(int len = 1; len <= n; len++)for(int l = 0; l+len-1 <= n-1; l++){int r = l+len-1;if(len == 1)dp[l][r] = 1;else if(s[l] == s[r])dp[l][r] = min(dp[l][r], min(dp[l+1][r], dp[l][r-1]));else for(int k = l; k+1 <= r; k++)dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k]+dp[k+1][r]);}cout << dp[0][n-1];return 0;
}