预设性能控制-Prescribed Performance Control(PPC)

一、基本概念

1.核心思想

对受控系统的状态（误差）人为设定性能包络，通过性能包络函数的收敛特性来刻画受控系统的瞬态（如趋近速率、上调量、下调量等）和稳态（如控制精度）。

通过使用一个包含期望性能的转换方程，将原始系统转换成为一个新的系统。

2.基本概念

预设性能：系统的跟踪误差收敛至一个预先确定的任意小的残差集，同时最小收敛速率满足预设值，最大超调不超过预设值，保证了跟踪误差的瞬态误差。

预设性能的实现：规定一块被逐渐衰减的函数所界定的区域，跟踪误差在随时间变化的过程中一直处在这个区域内。

二、实现方式（三个关键步骤）

1.预设性能约束

目的：将受控系统存在的约束建模为性能边界约束，进而进行定量化描述

（1）传统预设性能边界（上下界约束）：

{−δρ(t)<e(t)<ρ(t),e(0)⩾0−ρ(t)<e(t)<δρ(t),e(0)<0\begin{equation} \begin{cases}-\delta \rho(t)<e(t)<\rho(t), & e(0) \geqslant 0 \\ -\rho(t)<e(t)<\delta \rho(t), & e(0)<0\end{cases} \end{equation} {−δρ(t)<e(t)<ρ(t),−ρ(t)<e(t)<δρ(t),e(0)⩾0e(0)<0

其中：e(t)∈Re(t)\in Re(t)∈R是受控系统的状态，δ∈(0,1]\delta \in (0,1]δ∈(0,1]是超调量抑制参数，ρ(t)∈R\rho (t) \in Rρ(t)∈R是性能函数。

（2）性能函数ρ(t)\rho(t)ρ(t)要满足的两个条件：

函数是时间想换且是单调递减的；
函数是连续可导的。

（3）常用性能函数

指数性能函数：
ρ(t)=(ρ0−ρ∞)exp⁡(−ℓt)+ρ∞\rho(t)=(\rho_0-\rho_\infty)\operatorname{exp}(-\ell t)+\rho_\infty ρ(t)=(ρ0−ρ∞)exp(−ℓt)+ρ∞
双曲正切型性能函数：
ρ(t)=coth⁡(ℓ1+ℓ2)−1+ρ∞\rho(t)=\operatorname{coth}(\ell_1+\ell_2)-1+\rho_\infty ρ(t)=coth(ℓ1+ℓ2)−1+ρ∞
其中：ρ0>ρ∞>0,ℓ,ℓ1,ℓ2>0\rho_0>\rho_\infty>0,\ell,\ell_1,\ell_2>0ρ0>ρ∞>0,ℓ,ℓ1,ℓ2>0是常量参数。

两种约束函数特点：

指数性能函数：约束系统状态至少以指数速度进行快速收敛
双曲正切型性能函数：应用于初始状态未知的系统，保证其状态始终位于性能包络以内

2.空间对等映射

（1）目的

克服性能约束给控制器带来的额外复杂性，实现性能约束空间到无约束空间的对等转换，即对约束下的非线性系统进行无约束化处理。

（2）同胚映射函数

对数型映射函数：
ε(t)=F(z(t))={ln⁡δ+z(t)δ(1−z(t)),e(0)⩾0ln⁡δ(1+z(t))δ−z(t),e(0)<0\varepsilon(t)=\mathcal{F}(z(t))= \begin{cases}\ln \frac{\delta+z(t)}{\delta(1-z(t))}, & e(0) \geqslant 0 \\ \ln \frac{\delta(1+z(t))}{\delta-z(t)}, & e(0)<0\end{cases} ε(t)=F(z(t))={lnδ(1−z(t))δ+z(t),lnδ−z(t)δ(1+z(t)),e(0)⩾0e(0)<0
其中z(t)=e(t)/ρ(t)z(t)=e(t)/\rho(t)z(t)=e(t)/ρ(t)是归一化标准变量，F(⋅)\mathcal{F}(·)F(⋅)是同胚映射函数，ε(t)\varepsilon(t)ε(t)是映射后的变量。

转化后的变量满足ε(t)∈(−∞,+∞)\varepsilon(t)\in(-\infty,+\infty)ε(t)∈(−∞,+∞)，即转化后的非线性系统是无约束的。
原系统与新系统之间是同胚映射，所以后续控制器设计只需要保证映射后的系统状态ε(t)\varepsilon(t)ε(t)有界，即可实现对原系统的约束控制。

3.非线性控制器设计

约束系统的控制问题转化为映射后无约束系统的状态有界稳定控制问题。由于PPC 方法并没有限制设计控制器的具体方法，因此可以结合映射后系统的结构特点，采用滑模控制、退步控制等方法来设计相应的控制器。

参考文献：

航天器姿态预设性能控制方法研究 - 魏才盛

航天器姿态预设性能控制方法综述 - 魏才盛

预设性能控制-Prescribed Performance Control(PPC)