电阻，电容与电感是电路最基础的元件，我们曾学习过许许多多包含他们的电路，却从未真正关心过他们本身
今天，就让我们关心一下这些任劳任怨的元件，了解他们背后的基础机理

Resistor

Basic introduction

一段长度为dldldl的导体，其电阻为
dR=dVIdR=\frac{dV}{I}dR=IdV
假设导体一端为a，一端为b, a的电势高于b
对其积分，最后得出的电阻完全体为
R=VabIR=\frac{V_{ab}}{I}R=IVab
假设导体两端电势差为V0V_0V0, A是导体的截面积，σ\sigmaσ是材料的电导率，则电阻可以表示为
R=V0I=lσAR=\frac{V_0}{I}=\frac{l}{\sigma A}R=IV0=σAl

Example

有一半径为a，电导率为σ的长直导线，被电导率为0.1σ的外壳包裹
a) 外壳的厚度达到多少时，原导线的电阻可以被削减为原来的50%
b) 假设通过带壳导线的电流为I, 找到原导线和外壳的J 和 E

Runcoated=1/(σπa2)R_{uncoated}=1/(σπa^2 )Runcoated=1/(σπa2)
当电流通过时，可以把原导线和外壳想象为两个并联的电阻
Rcoated+uncoated=50%∗R=R2R_{coated+uncoated}=50\%*R=\frac{R}{2}Rcoated+uncoated=50%∗R=2R
假设外壳的厚度为t
Rcoated=10.1σπ[(a+t)2−a2]=R=1σπa2R_{coated}=\frac{1}{0.1σπ[(a+t)^2-a^2 ]} =R=\frac{1}{σπa^2 }Rcoated=0.1σπ[(a+t)2−a2]1=R=σπa21
a2+2at+t2−a2=10a2a^2+2at+t^2-a^2=10a^2a2+2at+t2−a2=10a2

解二元一次方程，得出外壳厚度t

Capacitor

电容器电容为C，存在里面的电荷总数为Q，两板之间的电势差为V
QV=C\frac{Q}{V}=CVQ=C
单位：1F（farad）=1C/V（coulomb/volt）1F（farad）=1C/V（coulomb/volt）1F（farad）=1C/V（coulomb/volt）

若两板之间电介质常数为ϵ0\epsilon_0ϵ0,板面积为S，间距为d，则电容为：
C=QV=ϵ0SdC=\frac{Q}{V}=\frac{\epsilon_0S}{d}C=VQ=dϵ0S

大多数电容器都用绝缘体作为中间介质，这样做的原因是：

保持板之间的物理分离
增加板之间可能的最大电位差
当板间充满介质时，电容增大

Edge Effect and fringing fields

边缘效应指电容器板边缘的电场线并非直线的现象，这些电场线代表的非均匀场叫做Fringing fields
通常，我们让板的面积远大于板之间的距离d<<Sd<<\sqrt Sd<<S来忽视这种现象

Capacitor contain two dielectrics

对于板间填充了两种不同介质的电容器，它的电容应如何计算呢？
这里，我们可以将不同的介质区域视为两个串联的电容器，而总电容就是两个串联电容之和，设两种介质的介电常数分别为ϵ1,ϵ2\epsilon_1,\epsilon_2ϵ1,ϵ2
1C=1C1+1C2\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}C1=C11+C21
C1=ϵ1S/d1C_1=\epsilon_1S/d_1C1=ϵ1S/d1
C2=ϵ2S/d2C_2=\epsilon_2S/d_2C2=ϵ2S/d2

这是比较直观的方法，还有更加基本的方法，就是利用总电势差V=E1d1+E2d2V=E_1d_1+E_2d_2V=E1d1+E2d2
然后用边缘情况判断，得出D1=D2,ϵ1E1=ϵ2E2D_1=D_2, \epsilon_1E_1=\epsilon_2E_2D1=D2,ϵ1E1=ϵ2E2
ρs1=D1=ϵ1E1=ϵ2E2=ρs2=ρs\rho_{s1}=D_1=\epsilon_1E_1=\epsilon_2E_2=\rho_{s2}=\rho_sρs1=D1=ϵ1E1=ϵ2E2=ρs2=ρs
最后利用C=ρsSVC=\frac{\rho_sS}{V}C=VρsS得出总电容

Calculation of capacitance

通常我们知道Q,
为了得到C,
我们需要得到E,
E通常用高斯定律得到

Energy stored in capacitor

电容器所做的事情是将电荷在板之间运送
最开始，电容器没有充电，随后，它将正电荷从负极板运到正极板，重复这个过程直到正极板为+Q,负极板为-Q,最终电容器存储的能量为：
W=12CV2W=\frac{1}{2}CV^2W=21CV2

Inductor

电感也被称为线圈，它会将电流带来的能量存在磁场中

Self-inductance

一个匝数为N的电感通过的电流为I，产生的通量为Φ
匝数与通量的乘积NΦ被称为磁链（flux linkage）
对于单匝线圈，磁链等于总磁通量
电感（或自感），是指磁链与通过的电流之比：
L=NϕIL=\frac{N\phi}{I}L=INϕ
此定义只适用于线性材料（不包含铁磁性材料）
电感单位为H

Mutual inductance

想象两个相邻的闭环C1,C2C_1, C_2C1,C2，他们围成的面积分别为S1,S2S_1, S_2S1,S2,如果一个电流I1I_1I1流过C1C_1C1，它就会产生一个磁场B1B_1B1，这个磁场的通量会穿过S2S_2S2，从而引发互感。互感磁通ϕ\phiϕ为：
ϕ12=∫S2B1⋅ds2=L12I1\phi_{12}=\int_{S_2}B_1\cdot ds_2=L_{12}I_1ϕ12=∫S2B1⋅ds2=L12I1
ϕ12\phi_{12}ϕ12与电流I1I_1I1成正比，他们的比例常数L12L_{12}L12被称为互感

根据纽曼公式，互感的计算方式如下：
L12=μ04π∮C1∮C2dl1⋅dl2R=N2ϕ12I1L_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C_1}\oint_{C_2}\frac{dl_1\cdot dl_2}{R}=\frac{N_2\phi_{12}}{I_1}L12=4πμ0∮C1∮C2Rdl1⋅dl2=I1N2ϕ12
L21=N1ϕ21I2L_{21}=\frac{N_1\phi_{21}}{I_2}L21=I2N1ϕ21

Calculation of inductance

通常我们知道电流I
根据安倍环路定理我们可以知道磁场强度H，
根据B=μ0HB=\mu_0HB=μ0H我们可以得到磁感应强度B，
根据ϕ=∬B⋅ds\phi=\iint B\cdot dsϕ=∬B⋅ds我们可以得到磁通量Φ
从而最终得出电感

Case study

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